湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考数学(理)试卷

炎德·英才大联考长郡中学2016届高三月考卷（六）

理科数学

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项

是符合题目要求的.

a?i2)，其中a为实数，若?的实部为2，则?的虚部为（ ） 1?i3113A．? B．? C． D．

22221.设复数??(2.设a?log12，b?log23，c?()0.3，则（ ）

312A．a?b?c B．b?a?c C．c?b?a D．b?c?a

4.一盒中有白、黑、红三种颜色的小球各一个，每次从中取出一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取5次球时停止取球的概率为 A．

14202225 B． C． D． 818181815.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ） A．3 B．3 C．0 D．?3 2 1

6.某几何体三视图如图所示，该几何体的体积为（ ） A．8?2? B．8?? C．8??2 D．8??4

7.已知sin??cos??11?tan?,??(0,?)，则?（ ） 21?tan?A．7 B．?7 C．3 D．?3

8.抛物线y?2px(p?0)的焦点为F，已知点A,B为抛物线上的两个动点，且满足

2?AFB?1200. 过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则

大值为（ ） A．|MN|

的最|AB|

323 B．1 C． D．2 332222229.两圆x?y?2ax?a?4?0和x?y?4by?1?4b?0恰有三条公切线，若

2

11的最小值为（ ） ?a2b214A．1 B．3 C． D．

99a?R,b?R且ab?0，则

10.已知y?f(x)为R上的可导函数，当x?0时，f'(x)?f(x)?0，则关于x的函数xg(x)?f(x)?1的零点个数为（ ） xA．1 B．2 C．0 D．0或2

11.如图，已知正方体ABCD?A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1?1，在侧面

BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P运动时，|HP|2的最小值是（ ）

A．21 B．22 C．23 D． 25

12.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x?1)为偶函数，当x?[0,1]时，f(x)?x，若g(x)?f(x)?x?b有三个零点，则实数b的取值集合是（ ）

121115,2k?),k?Z B．(2k?,2k?),k?Z 44221119C．(4k?,4k?),k?Z D．(4k?,4k?),k?Z

4422A．(2k?二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知集合P?{y|y?y?2?0}，Q?{x|x?ax?b?0}，若P?Q?R，

22P?Q?(2,3]，则a?b?

.

14.若直线l1:y?x?a和直线l2:y?x?b将圆(x?1)?(y?2)?8分成长度相等的四段弧，则a2?b2?

3

22

.

15.数列{an}中，a1?1，Sn为数列{an}的前n项和，且对?n?2，都有则数列{an}的通项公式an? . 16.已知函数f(x)是R上的奇函数，当x?0时，

2an?1，2anSn?Snf(x)?113??，若对实数(|x?tan?|?|x?tan?|?tan?)（?为常数，且????）

22222x?R，都有f(x?3)?f(x)恒成立，则实数a的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）

?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a?c?（1）求cosA的值； （2）求cos(2A?6b，sinB?6sinC. 6?6)的值.

18. （本小题满分12分）

为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：

（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望； （2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？

n(ad?bc)2参考公式：k?，其中n?a?b?c?d.

(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2参考数据：

4

P(K2?k0) 0.15 0．10 0.05 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19. （本小题满分12分）

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，平面AEC?平面ABCD，

?ACB?900，EF//BC，EF?12BC，AC?BC?2，AE?EC. （1）求证：AF?CF；

（2）当二面角A?EC?D的平面角的余弦值为33时，求三棱锥A?EFC的体积.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆C:x24?y2?1的短轴的端点分别为A,B，直线AM,BM分别与椭圆C交于

E,F两点，其中点M(m,12)满足m?0，且m??3. （1）求椭圆C的离心率e； （2）用m表示点E,F的坐标；

（3）若?BME面积是?AMF面积的5倍，求m的值.

21. （本小题满分12分） 已知函数f(x)?px?px?2lnx. （1）若p?2，求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线；

5

（2）若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围； （3）设函数g(x)?的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆O的半径为6，线段AB与圆O相交于点C,D，AC?4，?BOD??A，OB与圆O相交于点E. （1）求BD长；

（2）当CE?OD时，求证：AO?AD.

2e，若在[1,e]上至少存在一点x0，使得f(x0)?g(x0)成立，求实数px

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐

??x?2cos?标方程为??，曲线C的参数方程为?.（?为参数）

4??y?sin??（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；

（2）过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A,B两点，若|MA|?|MB|?轨迹的直角坐标方程.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?|2x?1|?|x?4|. （1）解不等式f(x)?0；

（2）若f(x)?3|x?4|?m对一切实数x均成立，求m的取值范围.

参考答案

6

8，求点M3

一、选择题 ADCAA BBAAC BC

12.C【解析】由f(x)为奇函数，且f(x?1)为偶函数知f(?x?1)?f(x?1)，令x?x?1，则f(x)?f(?x?2)??f(x?2)?f(x?4)，所以f(x)是周期为4的周期函数，又

x?[0,1]时，f(x)?x，画出f(x)的函数图象如图所示，由g(x)?f(x)?x?b有三个

零点，即f(x)的图象与y?x?b的图象有三个交点，由图易得当b?(?1211,)时，f(x)与44y?x?b在[?2,2]内有三个交点，又f(x)是以4为周期的周期函数，故当

11b?(4k?,4k?)，k?Z时，g(x)?f(x)?x?b有三个零点，故选C.

44

二、填空题 13. -5 14. 18

?1,n?1?

15. an?? 2

?,n?2?n(n?1)?

【解析】当n?2时，由

2an2??SnSn?1， ?1，得2(Sn?Sn?1)?anSn?Sn2anSn?Sn所以

22222又所以{}是以2为首项，1 为公差的等差数列，?n?1，??1，?2，

SnSn?1S1SnSn2， n?1所以Sn?所以2an??222， ?，an??n?1nn(n?1)又a1?1不满足上式，

7

?1,n?1?

所以an??. 2

?,n?2?n(n?1)?

16. ??4????2

【解析】当0????时，tan??0，所以当x?0时，f(x)?x?3tan?为增函数， 22

三、解答题

17.【解析】（1）在三角形ABC中，由

bcsinB?sinC及sinB?6sinC， 可得b?6c，又a?c?66b，有a?2c， ?b2?c2?a26c2?c2?4c2所以cosA62bc?26c2?4. （2）在三角形ABC中，由cosA?64，可得sinA?104，于是cos2A?2cos2A?1??14，

sin2A?2sinAcosA?154，所以cos(2A??)?cos2Acos??sin2Asin??15?36668. 18.【解析】（1）由已知，每个男性周末上网的概率为

56， 8

5156665EX?np?.

280（2）因为k2??8.9?6.635，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.

9k故X～B(3,)，P(x?k)?C3()3?k()k，k?0,1,2,3，

19.【解析】（1）因为?ACB?900，平面AEC?平面ABCD，所以BC?平面AEC， 又EF//BC，所以EF?平面AEC，所以EF?AE,EF?CE，又AE?EC，所以

?CEF∽?AEF，∴AF?CF.

（2）取AC的中点O，因为AE?EC，所以EO?AC，又平面AEC?平面ABCD， 所以EO?平面ABCD.

如图，建立空间直角坐标系，则C(1,0,0),A(?1,0,0),D(?1,2,0)，设E(0,0,m)，∴

????EC?(1,0,?m)， ????ED?(?1,2,?m)，

??设平面ECD的法向量为n1?(x,y,1)，

????????x?m?0?n1?EC?0则由??????，即?， ???x?2y?m?0??n1?ED?0??得x?m,y?m，∴n1?(m,m,1).

???????由（1）知EF?平面AEC，所以平面AEC的法向量为n2?FE?(0,1,0)， ??????????n1?n2m3?????∴cos?n1,n2????，∴m?1.

2|n1||n2|2m?13所以VA?EFC?VF?AEC?1111EF?S?ACE??1??1?2?. 3323

20.【解析】（1）依题意知：a?2,c?3，∴e?3， 29

（2）∵A(0,1),B(0,?1),M(m,)，且m?0，

1213，直线BM的斜率为k2?， 2m2m13∴直线AM的方程为y??x?1，直线BM的方程为y?x?1，

2m2m∴直线AM的斜率为k1???x2?y2?1?4mm2?14m?422由?，得(m?1)x?4mx?0，∴x?0,x?2，∴E(2 ,2)，

m?1m?1m?1?y??1x?1?2m??x2?y2?1?12m9?m212m?422由?，得(9?m)x?12mx?0，∴x?0,x?2，∴F(2,2).

m?9m?9m?93?y?x?1?2m?（3）∵S?AMF?11|MA||MF|sin?AMF，S?BME?|MB||ME|sin?BME，22?AMF??BME，

5S?AMF?S?BME，∴5|MA||MF|?|MB||ME|，∴

∴

5|MA||MB|， ?|ME||MF|5mm， ?4m12m?m?mm2?19?m2115∵m?0，∴2?2?1，即(m2?3)(m2?1)?0，

m?1m?9又∵m??3，∴m2?3?0，∴m2?1，∴m??1为所求. 21．【解析】已知函数f(x)?px?（1）f(x)?2x?p?2lnx. x2?2lnx，f(1)?0， xf'(x)?2?22?，f'(1)?2， 2xx则切线为：y?2(x?1)，即2x?y?2?0.

p2px2?2x?p（2）f(x)?p?2??， 2xxx'由f(x)在定义域(0,??)内为增函数，所以f(x)?0在(0,??)上恒成立， ∴px?2x?p?0即p?

2'2x，对?x?0恒成立， 2x?110

2x2?2?4x22?2x22x'?2设h(x)?2， (x?0)，h(x)?(x2?1)2(x?1)2x?1易知，h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减，则h(x)max?h(1)?1， ∴p?h(1)?1，即p?[1,??). （3）设函数?(x)?f(x)?g(x)?px?p?2e?2lnx，x?[1,e]， x则原问题?在[1,e]上至少存在一点x0，使得?(x0)?0?g(x)max?0.

p?2e2px2?2x?(p?2e)， ?(x)?p???22xxx'10当p?0时，?'(x)??2x?2e?0，则?(x)在x?[1,e]上单调递增，x2?(x)max??(e)??4?0，舍；

12e20当p?0时，?(x)?p(x?)??2lnx，

xx12e∵x?[1,e]，∴x??0，?0，lnx?0，则?(x)?0，舍；

xxp(x2?1)?2(e?x)?0， 3当p?0时，?(x)?x20'则?(x)在x?[1,e]上单调递增，?(x)max??(e)?pe?综上，p?(p4e， ?4?0，整理得p?2ee?14e,??). e2?1BDOD， ?OCAC22．【解析】（1）∵OC?OD，∴?OCD??ODC，∴?OCA??ODB. ∵?BOD??A，∴?OBD∽?AOC，∴∵OC?OD?6,AC?4，∴

BD6?，∴BD?9. 64（2）∵OC?OE,CE?OD，∴?COD??BOD??A.

∴?AOD?1800??A??ODC?1800??COD??OCD??ADO. ∴AD?AO.

x2?y2?1. 23．【解析】（1）直线l:y?x，曲线C:2 11

??x?x0??2t2（2）设点M(x0,y0)及过点M的直线为l1:?（t为参数）. ?y?y2??0?2t由直线lC相交可得：3t22?2tx22ty221与曲线0?0?x0?2y0?2?0，

|MA|?|MB|?8x2y20?20?23?|3|?83，即：x220?2y0?6， 2x2?2y2?6表示一椭圆，

?x?m代入x2取y2?y2?1，得：3x2?4mx?2m2?2?0，

由??0得?3?m?3，

故点M的轨迹是椭圆x2?2y2?6夹在平行直线y?x?3之间的两段弧. 24．【解析】（1）当x?4时，f(x)?2x?1?(x?4)?x?5?0， 得x??5，所以x?4成立； 当?12?x?4时，f(x)?2x?1?x?4?3x?3?0， 得x?1，所以1?x?4成立； 当x??12时，f(x)??x?5?0，得x??5，所以x??5成立. 综上，原不等式的解集为{x|x?1或x??5}.

（2）令F(x)?f(x)?3|x?4|?|2x?1|?2|x?4|?|2x?1?(2x?8)|?9，当?12?x?4时等号成立. 即有F(x)的最小值为9， 所以m?9.

即m的取值范围为(??,9].

12

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