2009年考研数学春季强化班高数讲义

第四章 常微分方程

一、五类一阶方程：

1）可分离变量y??f(x)g(y)

yy2）齐次 y??f()， 令 ?u。

xx3）线性 y??P(x)y?Q(x)

?p(x)dx??p(x)dxdx?C? 通解： y?e?Q(x)e????? 4）伯努利 y??P(x)y?Q(x)y?(??1)， 令y1???u.

5）全微分 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0. a) 判定:

?P?Q ??y?x b) 解法:

1) 偏积分 2) 凑微分

3) 线积分u(x,y)??P(x,y)dx??Q(x0,y)dy

x0y0xy二、 三类可降阶方程:

1) y???f(x)

2) y???f(x,y?) 令y??P,y???dP dxdP dy3) y???f(y,y?) 令y??P,y???P三、高阶线性方程:

1) 变系数: y???p(x)y??q(x)y?f(x) 非齐次 y???p(x)y??q(x)y?0 齐次 解的结构: a) 齐次通解?c1y1?c2y2,其中y1,y2为齐次两线性无关特解 b) 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解

46

c) 非齐次特解I — 非齐次特解II = 齐次特解 2)常系数:

a) 齐次 y???a1y??a2y?0 特征方程 ?2?a1??a2?0

设?1,?2是特征方程两个根

1）不等实根：?1??2， y?C1e?1x?C2e?2x； 2）相等实根：?1??2??， y?e?x(C1?C2x)；

3）共轭复根：?1,2???i?， y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)；

b) 非齐次：

y???a1y??a2y?f(x)

1?,f(x)?Pn(x)eux

令y??xkQn(x)eux k等于u作为特征方程根的重数.

2?,f(x)?e?x?Pl(x)cos?x?Pm(x)sin?x?

令y??xke?x?Qn(x)cos?x?Wn(x)sin?x?.n?max{l,m}

3） 欧拉方程 xny(n)?a1xn?1y(n?1)?????an?1xy??any?f(x)

令x?et， xky(k)?D(D?1)???(D?k?1)y

四、 差分方程

1。一阶常系数线性齐次差分方程

yt?1?ayt?0, （1）

通解为 yc(t)?C?(?a)t, 2。一阶常系数线性非齐次差分方程

yt?1?ayt?f(t), （2）

通解为 yt?yc(t)?yt*.

47

一阶常系数线性差分方程的特解yt*形式表

f(t)的形式 取待定特解的条件 试取特解的形式 yt*?Qm(t)?B0?B1t???Bmtm, f(t)?Pm(t)?b0?b1t???bmtma??1 a??1 B0,B1,?,Bm为待定常数 yt*?tQm(t) yt*?dt?Qm(t) yt*?t?dt?Qm(t) f(t)?dt?Pm(t), a?d?0 a?d?0 d为非零常数 f(t)?b1cos?t?b2sin?t yt*??cos?t??sin?t, D?a?cos??sin??0 ?,?为待定常数 a?cos?sin???0且b1,b2 为不同时为零的常数 D?0 yt*?t(?cos?t??sin?t)

例1 差分方程2yt?1?10yt?5t?0的通解为 .

5解： 原方程的一般形式为 yt?1?5yt?t，

2其对应的齐次差分方程为 yt?1?5yt?0,

其通解为 yc(t)?C(?5)t （C为任意常数）.

5 因为f(t)?t是t的一次多项式，且a?5??1，故设原方程的特解为

2yt*?At?B，

代入原方程，得

5A(t?1)?B?5(At?B)?t,

25即 6At?A?6B?t.

25155比较系数知A?,B??，故yt*?(t?)，从而原差分方程的通解为

1272126

48

yt?yc(t)?yt*?C(?5)t?51(t?). 126例2 差分方程yt?1?yt?t?2t的通解为 . 解： 原方程对应的齐次差分方程为

yt?1?yt?0,

其通解为 yc(t)?C(1)t?C （C为任意常数）. 因为f(t)?t?2t，且a?d??1?2?1?0，故设原方程的特解为

yt*?2t(At?B),

代入原方程，得 2t?1[A(t?1)?B]?2t(At?B)?t2t 即 At?2A?B?t.

比较系数知A?1,B??2，故yt*?2t(t?2)，从而原差分方程的通解为

yt?yc(t)?yt*?C?2t(t?2).

题型1. 微分方程求解 例一: 求解下列微分方程(一阶方程)

(1) y??xy2?y2?1?x arctany?x?12x?C 2 (2) xy??y?2xy x?xy?C

1?a????x?X?ax?y?13 (3) y?? ? ?42x?y?2?y?Y?b?b?3?y212(4) y?? x?Ce?y2?1 3xy?y1(5) y??cos(x?y) x?y?u,tan(6) 求方程y?sec2y?xtany?x满足条件y21?xx?0u?x?C 2?0的特解.

11) tany?(1?x2?231?x 49

11(7) (x?siny)dy?tanydx?0 x?(sin2y?C)

2siny例二 。 求解下列各题（可降价）

1． 求方程(x?1)y???y??ln(x?1)的通解 ①公式 ②凑微分

y?(x?1?C1)ln(x?1)?2x?C2

?2yy???y?2?y22. 求方程?的特解. y?e?x

?y(0)?1,y?(0)??1例三 。 求解下列各题(高阶线性方程)

1. 方程y???y?ex?1的特解形式可设为 （B） A）aex?b B）axex?b C）aex?bx D）axex?bx 2. 方程y????y???3x2的特解形式可设为 (C) A)ax2?bx?c B)x2(ax2?b)

C) x2(ax2?bx?c) D) x(ax2?bx?c)

3．方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为 （D） A） ax2?bx?c?Asinx B）ax2?bx?c?Bcosx

C） ax2?bx?c?Asinx?Bcosx D）ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx)

4．设线性无关的函数y1,y2,y3都是方程y???p(x)y??q(x)y?f(x)的解，

C1,C2为任意常数，则该非齐次方程通解是

A）C1y1?C2y2?C3y3 B）C1y1?C2y2?(C1?C2)y3 C）C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3 D）C1y1?C2y2?(1?C1?C2)y3 5．已知y1?xex?e2x,y2?xex?e?x,y3?xex?e2x?e?x为某二阶线性常系数非

齐次方程的特解，求此方程. (y???y??2y?ex(1?2x)) 6.若y?e2x?(x?1)ex是方程y???ay??by?cex的解,求a,b,c及该方程通解: (a??3,b?2,c??1,y?C1ex?C2e2x?xex)

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2009年考研数学春季强化班高数讲义

主讲：武忠祥

西安人信培训学校 2008年5月

第一章 函数 极限 连续

一．函数

1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性

定义：单调增： x1?x2?f(x1)?f(x2). 单调不减： x1?x2?f(x1)?f(x2). 判定：（1）定义：

(2）导数：设f(x)在区间I上可导，则 a) f?(x)?0?f(x)单调不减； b) f?(x)?0?f(x)单调增； 2)奇偶性

定义：偶函数 f(?x)?f(x); 奇函数 f(?x)??f(x). 判定：(1）定义：

(2）设f(x)可导，则：

a)f(x)是奇函数? f?(x)是偶函数；

b)f(x)是偶函数? f?(x)是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数；

连续的偶函数其原函数之一是奇函数。

3)周期性

定义：f(x?T)?f(x) 判定：(1)定义；

(2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性

2

定义：若?M?0,?x?I,f(x)?M;则称f(x)在I上有界。 判定：（1）定义：

（2）f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上有界；

（3）f(x)在(a,b)上连续，且f(a?0)和f(b?0)存在?f(x)在

上有界； （a,b） （4）f?(x)在区间I（有限）上有界?f(x)在I上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本的初等函数与初等函数 基本初等函数:

常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形. 初等函数:

由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数.

题型一 复合函数

例1设f(x?1)的定义域为[0,a],(a?0),，则f(x)的定义域为 (A) [1,a?1] (B) [?1,a?1]

(C) [a?1,a] (D) [a,a?1]

例2已知f(x)?ex,f[?(x)]?1?x,且?(x)?0,求?(x)及其定义域。

(?(x)?2ln(1?x),x?0)

?2?x2,|x|?1?0,x?0例3设f(x)??, g(x)??

?1,x?0?|x|?2,1?|x| 试求f[g(x)],g[f(x)].

1?|x|?2?0,?2,x?0 ( f[g(x)]?? g[f(x)]?? )

?1,|x|?1或2?|x|??1,x?0 题型二 函数性态

3

例1 函数f(x)?xsin(x?2)x(x?1)(x?2)2在下列哪个区间内有界。

(A) (?1,0) (B) (0,1) (C) (1,2) (D) (2,3) 例2 以下四个命题中正确的是

（A）若f?(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界； （B）若f(x)在(0,1)内连续，则f(x)在(0,1)内有界； （C）若f?(x)在(0,1)内有界，则f(x)在(0,1)内有界； （D）若f(x)在(0,1)内有界，则f?(x)在(0,1)内有界。 例3 设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数，且

f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时，有 （A）f(x)g(b)?f(b)g(x); （B）f(x)g(a)?f(a)g(x); （C）f(x)g(x)?f(b)g(b); （D）f(x)g(x)?f(a)g(a); 例4 设函数f(x)连续，且f?(0)?0,则存在??0，使得 （A）f(x)在(0,?)内单调增加； （B）f(x)在(??,0)内单调减少； （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)； （D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)。

注：1) f?(a)?0 在x?a的某邻域内f(x)单调增； 2）f?(a)?0? ???0,当x?(a??,a)时，f(x)?f(a)；

当x?(a,a??)时，f(x)?f(a)。

二．极限

1．极限概念

1）数列极限: liman?A：???0, ?N(?)?0,当n?N时|an?A|??.

n??2）函数极限:

（1）自变量趋于无穷大时函数的极限

4

limf(x)?A： ???0, ?X(?)?0,当|x|?X时|f(x)?A|??.

x?? limf(x)?A和limf(x)?A的定义与limf(x)?A类似。

x???x???x?? limf(x)?A ? limf(x)?limf(x)?A

x??x???x???（2）自变量趋于有限值时函数的极限

x?x0limf(x)?A： ???0, ??(?)?0,当0?|x?x0|??时|f(x)?A|??。

x?x0右极限：lim?f(x)?f(x0?0);. 左极限：lim?f(x)?f(x0?0);.

x?x0x?x0limf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?A

x?x0x?x01?x21x. 几个值得注意的极限：lime,limarctan，lime,limarctanx,limx??x??x??x?0x?0xx1x2。极限性质

1）有界性： 收敛数列必有界；

2）有理运算性质： 若limf(x)?A, limg(x)?B.

那么: lim[f(x)?g(x)]?A?B；

lim[f(x)?g(x)]?A?B；

limf(x)A? (B?0) g(x)B 两个常用的结论：1）limf(x)存在，limg(x)?0?limf(x)?0; g(x)f(x)?A?0,limf(x)?0?limg(x)?0; g(x) 2) lim3）保号性： 设limf(x)?A

x?x0（1） 如果A?0,则存在?,当x?U(x0,?)时，f(x)?0. （2） 如果当x?U(x0,?)时,f(x)?0,那么A?0. 4）函数值与极限值之间的关系：

5

??

（a）需求的价格弹性：设需求函数Q??(p)(p为价格），则需求对价格的弹性为?d?p??(p).由于?(p)是单调减少函数，故??(p)?0，从而?d?0.其?(p)经济学中的解释为：当价格为p时，若提价（或降价）1%，则需求量将减少（或增加）|?d|%.

需要注意的是，很多试题中规定需求对价格的弹性?d?0，此时应该有公式

?d??p??(p). ?(p)（b）供给的价格弹性：设供给函数Q??(P) (P为价格），则供给对价格的弹性为?s?p??(p).由于供给函数?(p)单调增加，故??(p)?0，从而?s?0.?(p)其经济学中的解释为：当价格为p时，若提价（或降价）1%，则供给量将增加（或减少）?s%.

例1 设商品的需求函数为Q?100?5p，其中Q,p分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，则商品价格的取值范围是 . 解:分析 先按定义写出弹性函数，令??1，反求出p的范围. 由于Q???5，所以 ??令??1，解得p?10.

Q??5pp?. Q100?5p又由Q?0，即100?5p?0，得p?20，所以p的取值范围为（10，20]. 注： 填(10,??)是错误的，原因是Q是需求函数，应有Q?0.

例2一商家销售某种商品的价格满足关系p?7?0.2x（万元/吨），x为销售量（单位：吨），商品的成本函数是C?3x?1（万元）.

（Ⅰ）若每销一吨商品，政府要征税t（万元），求该商家获最大利润时的

41

销售量；

（Ⅱ）t为何值时，政府税收总额最大？

解： (Ⅰ)依题意,商品销售总收入为R?px?(7?0.2x)x，总税收额为

T?tx，利润函数为

??R?C?T??0.2x2?(4?t)x?1, d?dx??0.4x?4?t.令

5d??0，得驻点x?(4?t) dx2d2?5又2??0.4?0，故当x?(4?t)时，利润?为最大值，即使利润最dx25大的销售量为(4?t).

25（Ⅱ）将x?(4?t)代入T?tx，得

255T?t?(4?t)?10t?t2.

22dT令?0，得t?2. dtd2T又2??5?0，故t?2是T的极大值点，亦即最大值点.所以，当税率dt为2时，政府税收总额最大.

例3设某商品的需求函数为Q?Q(p)，收益函数为R?pQ，其中p为商品价格，Q为需求量（产品的产量），Q(p)是单调减函数.如果当价格为p0，对应产量为Q0时，边际收益

dRdR?a?0,收益对价格的边际效应

dQQ?Q0dp?c?0,需

p?p0求对价格的弹性为Ep?b?1，求p0和Q0.

解 依定义，需求函数Q?Q(p)对价格的弹性为Ep???QdP?dRdp?p?Q?p?p??? dQdQ?pdQ?pdQ, Qdp所以

42

?1??, 1? ?p??Ep??? 由题设知

所以有p0? 又

dR?1??p0?1???a，

dQQ?Q0?b?ab. b?1?pdQ?dRdQ??Q?p?Q?Q???Q(1?Ep), ??dpdp?Qdp?dRdp?Q0(1?b)?c,

p?p0由题设知

所以有 Q0?c. 1?b 例4 设某商品需求量Q是价格p的单调减少函数：Q?Q(p)，其需求弹性

2p2???0.

192?p2（Ⅰ）设R为总收益函数，证明

dR?Q(1??)； dp（Ⅱ）求p?6时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义. 解：（Ⅰ）由于R?R(p)?pQ(p)，所以

?pdQ?dRdQ?Q?p?Q?Q????Q(1??). dpdp?Qdp?ERpdRp2p2192?3p2??Q(1??)?1???1??, （Ⅱ）

EpRdppQ192?p2192?p2所以

EREp?p?67?0.54.其经济意义是：当价格为6（单位）时，若13价格上涨1%，则总收益将增加0.54%.

例5 设某商品的需求函数为Q?100?5p，其中价格p?(0,20),Q为需求量. （Ⅰ）求需求量对价格的弹性Ed(Ed?0)；

43

（Ⅱ）推导

dR，并用弹性Ed说明价格在何范?Q(1?Ed)（其中R为收益）

dp围内变化时，降低价格反而使收益增加. 解：（Ⅰ） Ed?（Ⅱ）由R?pQ，得

dRdQp?Q?p?Q(1?Q?)?Q(1?Ed). dpdpQppQ??. Q20?p又由Ed?p?1，得p?10. 20?pdR?0，故当10?p?20时，降低价格反而dp当10?p?20时，Ed?1，于是使收益增加.

四、积分学在经济中的应用

总成本函数C?C(q)，总收益函数R?R(q)等，统称总函数.用微分法对总函数求导数可得边际函数、边际成本MC?dRdC、边际收益MR?等；已知边dqdq际成本、边际收益等边际函数，用积分法对边际函数积分可得总函数，即总成本、总收益等.

①用不定积分表示总函数

C(q)??(MC)dq,

用C(0)?C0（固定成本）确定积分常数C；

R(q)??(MR)dq,

用R(0)?0确定积分常数C.

②用定积分表示总函数

， C(q)??(MC)dq?C0 （C0表示固定成本）

0q 44

R(q)??(MR)dq.

0q③q由a个单位变化到b个单位，总成本的改变量、总收益的改变量分别为

?C??(MC)dq,ab?R??(MR)dq.ab

例 设某商品从时刻0到时刻t的销售量为x(t)?kt,t?[0,T],k?0.欲在T时将数量为A的该商品销售完，试求：

（Ⅰ）t时的商品剩余量，并确定k的值； （Ⅱ）在时间段[0,T]上的平均剩余量.

提示 本题是一道经济应用题，主要考查剩余量及平均值的概念.t时的商品剩余量＝商品总量A?时刻t时的销售商品量x(t).由于T时该商品销完，故可确定k的值.

解 （Ⅰ）在时刻t商品的剩余量为

y(t)?A?x(t)?A?kt,t?[0,T].

由A?kT?0，得k?A，因此 Ty(t)?A?At,t?[0,T]. T（Ⅱ）依题意，y(t)在[0,T]上的平均值为

1T~y??y(t)dt T01TAA ??(A?t)dt?,

T0T2A因此在时间段[0,T]上的平均剩余量为.

2

45

?x??eee? ? F2(x)? F(x)? f(x)?F?(x)????1?x1?x?1?x?xxx例4．设f?(ex)?sinx,求f(x)。 ( [sinlnx?coslnx]?C )

2例5. 求不定积分 ?e?|x|dx

??e?x?c1,解。?edx??x?e?c2,?|x|x?0,x?0.

e?|x|连续,原函数F(x)必连续, ? F(x)在x?0连续.

x?0lim?F(x)?lim(?e?x?c1)??1?c1

x?0x?0x?0lim?F(x)?lim(ex?c2)?1?c2

? ?1?c1?1?c2 令 c1?c, 则c2??2?c.

??e?x?c,x?0,故 ?edx??x

?e?2?c,x?0.?|x|二.定积分

1。定义：?f(x)dx?lim?f(?k)?xk

abn??0k?12。可积性：

1）必要条件：f(x)有界；

2）充分条件:f(x)连续或仅有有限个第一类间断点；3。计算： 1）?f(x)dx?F(b)?F(a)

ab

2）换元法

3）分部积分法 4）利用奇偶性，周期性 5）利用公式

31

?n?1n?31????,n偶?nn(1)?2sinxdx??2cosxdx??nn?22200n?1n?32????,n奇 ?nn?23??(2) ?xf(sinx)dx?0π?2??0f(sinx)dx4变上限积分：?f(t)dt

ax1) 连续性：设f(x)在[a,b]上可积，则?f(t)dt在[a,b]上连续。

ax2）可导性：设f(x)在[a,b]上连续，则?f(t)dt在[a,b]上可导且

ax(?f(t)dt)??f(x).

ax变上限求导的三个类型：

??(x)??(1)??f(t)dt??f(?(x))??(x)?f(?(x))??(x)??(x)???(x)x??(2)??f(x,t)dt?例1:F(x)??(t?x)f(t)dx

0??(x)??bdx2??(3)??f(x,t)dt?例2:sin(x?t)dt?0?a?dx3）奇偶性：i）若f(x)为奇函数，则?f(t)dt为偶函数。

0x ii）若f(x)为偶函数，则?f(t)dt为奇函数。

0x例1（06年数二）：设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是第一类间断点，则?f(t)dt是： . 0x(A)连续的奇函数; (B)在x?0间断的奇函数; (C)连续的偶函数; (D)在x?0间断的偶函数.

?12(x?1),若0?x?1,?x?2例2(01年,数3，4)设g(x)??f(u)du,其中f(x)??则

01?(x?1),若1?x?2,??3g(x)在区间（0,2）内

（A）无界 （B）递减 （C）不连续 （D）连续

32

例3（99年数一至四，05年数一二）． 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则 （A） f(x)是奇函数 ? F(x)必是偶函数； （B） f(x)是偶函数 ? F(x)必是奇函数； （C） f(x)是周期函数 ? F(x)必是周期函数； （D） f(x)是单调增函数 ? F(x)必是单调增函数. 5。性质：

1)不等式：i) 若f(x)?g(x), 则?f(x)dx??g(x)dx.

aabb ii) 若f(x)在[a,b]上连续，则m(b?a)??f(x)dx?M(b?a).

ab iii) ?f(x)dx??|f(x)|dx.

aabb2)中值定理： i） 若f(x)在[a,b]上连续，则?f(x)dx?f(c)(b?a),a?c?b

abii） 若f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)不变号，则

?baf(x)g(x)dx?f(c)?g(x)dx,a?c?b

ab例（96年数四）设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且

1bf(x)dx?f(b)。求证：在(a,b)内至少存在一点?，使f?(?)?0. ?ab?a例 题

例一 基本题 例1.I??例2.I??12x2?sinx1?1?x2?1dx; (4??)

n?01?sin2x dx; (22n)

n为偶n为奇?n?1n?31????????例3.I??xsinnxdx ??nn?2220n?1n?32????1???nn?23

33

例4.I??; ()

2204(2?x)1?x31xdx?例5.I??arcsin01x4?dx; (?3) 1?x3x例6.I??x2f(x)dx f(x)??011 ； ((1?2)

61?t4dt?12?例7. I??f(x?1)dx 其中 f(x)??1?x01??1?ex?x?0 (ln(1?e)) x?0例8. I??20sinx?dx ； ()

sinx?cosx4x3?e4例9. I??2? sinxdx ;()

?1?ex162?例10。已知f(x)连续，?tf(x?t)dt?1?cosx,求?2f(x)dx的值. （1）

00x?

例11．设f?(x)?arcsin(x?1)2,f(0)?0,求?f(x)dx. (01?1?) 42例二 综合题

??1??2??n????????例1.求 lim?? (ln2?2(1?)) 1??1??1?;2??2?2???n???4??n??n??n??x?23 例2．设f(x)连续,且limf(x)?1,则lim?tsinf(t)dt? . (6)

x???x???xt2221n例3.求极限 lim?xn1?x2dx. （0）

n??01例4.设F(x)??x?2?xesint?sintdt, 则F(x)___ （A）

A) 为正常数 B) 为负常数 C) 为0 D) 不是常数 例5.试证:F(x)??(t?t2)sin2ntdt在x?0上最大值不超过

0x1.

(2n?2)?(2n?3)??? 例6。设f(x)是区间?0,?上的单调、可导函数，且满足

?4??

f(x)0f?1(t)dt??t0xcost?sintdt.

sint?cost34

其中f?1是f的反函数，求f(x). 例7。设函数f(x)在(0,??)内连续，f(1)?5，且对所有x,t?(0,??)满足条件 2?xt1?5?f(u)du?t?f(u)du?x?f(u)du，求f(x). ?(lnx?1)?

11?2?xt?x?2x例8.若f(x)??) ?f(x)sinxdx,求f(x). (f(x)?1?cos2x21?cos2x???例9．设f(t)连续,f(t)?0,f(?t)?f(t).

令F(x)??|x?t|f(t)dt.?aa?a?x?a

1) 试证曲线y?F(x)在[?a,a]上是凹的.

2) 当x为何值时,F(x)取得最小值. (x?0) 3) 若F(x)的最小值可表示为f(a)?a?1,试求f(t). ( 2e?1 ) 例三 积分不等式

证明积分不等式常用的方法：

1）变量代换； 2）积分中值定理 ； 3）变上限积分； 4）柯希积分不等式； (?f(x)g(x)dx)??f(x)dx?g2(x)dx；

aaab2b2b2t2例1. 求证:?2?0sinx2dx?0.

例2. 设f(x)在 [0, 1]上连续,非负，单调减。 求证:?f(x)dx?a?f(x)dx (0?a?1)

00a1b?ab例3. 设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:?xf(x)dx?f(x)dx

a2?ab例4. 设f(x) 在 [0, 1]上可导,且f(0)?0 , 0?f?(x)?1.

113?f(x)dx?求证:???0??0f(x)dx.

??2例5。设f(x)在 [a, b]上有连续导数,f(a)?0, 求证:max|f?(x)|?a?x?b2(b?a)2?|f(x)|dx

ab 35

证明： ? f(x)??f?(t)dt

ax? |f(x)|??xaf?(t)dt??|f?(t)|dt??max|f?(t)|dt?(x?a)max|f?(x)|

aaa?x?ba?x?bxxbb1? ?|f(x)|dx??(x?a)dx?max|f?(x)|?(b?a)2 max|f?(x)| aaa?x?ba?x?b2故 max|f?(x)|?a?x?b2(b?a)2?|f(x)|dx

ab例6. 设f(x)在[0, 1]上有连续导数,且f(0)?0, 求证: ?f2(x)dx?01112f?(x)dx ?02x证明： ? f(x)??f?(t)dt

0xxxx1222?????? f(x)???f(t)dt???1dt??f(t)dt?x?f(t)dt?x?f?2(t)dt 0000?0?22? ?f2(x)dx??xdx??f?2(t)dt?000111112f?(t)dt;. ?02三、广义积分

1)无限区间；（1） （2）

????aaf(x)dx?limf(x)dx?lim??A???a?Af(x)dx.

??A????aaAf(x)dx.

f(x)dx都收敛，则称?

b （3） 若?常用结论： ???af(x)dx和??????? f(x)dx收敛。

a?P?1收敛1dx;， (a?0) ?Px?P?1发散ba2)无界函数：设a为f(x)的无界点， ?f(x)dx=lim????0a??f(x)dx

?P?1收敛1dx?常用结论： ? ?a(x?a)PP?1发散?barctanx?1x2dx ( ??dx例2. ? (

423(x?1)x?2x例1.

???1?ln2 ) 42233 ) ?38例3. ???0xe?x ( ln2 ) ?x2(1?e) 36

例4.求证: ???0??x21dx?dx,并求其值. 44?01?x1?x解： 令x???1得 t2????x1?1?左端= ?dx?dx?dt?dx=右端， ??2?0?01?x401?t41t??1?4t111?d(x?)221??x?11??1??xx原式??dx??dx??dx 40001121?x22x2?2(x?)2?2xx1t21x?11x ??arctan222???0?22

例5．下列广义积分发散的是

11dxdx A) ? B) ?

2?1?1sinx1?x????2dx C) ?e?xdx D) ? 220xlnx例6. (05，4)下列结论中正确的是 （A）???1??11dxdxdxdx与?与?都收敛 （B）?都发散.

100x(x?1)x(x?1)x(x?1)x(x?1)1dxdx发散，?收敛 ；

0x(1?x)x(x?1)（C）?（D）???1??11dxdx收敛，?发散。

0x(x?1)x(x?1)四、定积分应用

一。几何应用;

1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程） 2．体积：

1）已知横截面面积的体积 V??S(x)dx

ab 2）旋转体的体积 Vx???f2(x)dx； Vy?2??xf(x)dx。

aabb 37

3.曲线弧长（数三，数四不要求）

1）C:y?y(x),a?x?b. s??1?y?2dx

ab??x?x(t)?2?y?2dt 2）C:? ??t??. s??x??y?y(t) 3）C:???(?), ?????. s?????2???2d?

4.旋转体侧面积（数三，数四不要求） S?2??f(x)1?f?2(x)dx

ab 二．物理应用（数三，数四不要求）

1.压力； 2.变力做功； 3.引力。

例1．设f(x)??(1?|t|)dt(x??1),求曲线y?f(x)与x轴所围图形的面积.

?1x?12(1?x),?1?x?0?22f(x)??;S?1?2

123?(1?2x?x),x?0?2例2.设平面图形A由x2?y2?2x与y?x所确定,求图形A,绕x?2旋转一

??22??周所得旋转体的体积 ??2?3??

??解1。V?2??(2x?x?x)(2?x)dx?012?22?2? 3解2。dV?[?(2?(1?1?y2))2??(2?y)2]dy

V??10[?(2?(1?1?y2))2??(2?y)2]dy 2?. 3 =

?22??x?acos3t 例3． 设星形线?求1）它所用的面积； 2）它的周长； 3?y?asint 3）它绕x轴旋转而成旋转体的体积和表面积.

解：1）面积

38

A?4?ydx?4??asin3t(?3asint?cos2t)dt

02a0??12?203?a2 a(sint?sint)dt?8246?220?0??y?dt?4?23asint?costdt?6a 2）弧长： L?4?2x 3）体积： Vx?2??ydx?6?a0a?23?20sin7t(1?sin2t)dt?323?a 105旋转体表面积

??222??y?dt?12?aS?2?22?yx0?20sin4tcostdt?122?a 5例4．一容器由y?x2绕y轴旋转而成,其容积为72?m3,其中盛满水,水的比重为?,现将水从容器中抽出64?m3,问需作多少功? 解：V(y)??2y,W?π??(12?y)ydy?4212640π? 3五、导数在经济学中的应用

（1）经济学中常见的函数

①需求函数： x??(p)； 中x为某产品的需求量，其p价格.

需求函数的反函数p???1(x)称为价格函数，也常称为需求函数. ②供给函数： x??(p)； 其中x为某产品的供给量，p为价格. ③成本函数：成本C?C(x)是生产产品的总投入，它由固定成本C1（常量）

和可变成本C2(x)两部分组成，其中x表示产量.即

C?C(x)?C1?C2(x).

称

C为平均成本，记为C或AC： xCCC(x). AC?C??1?2xxx④收益（入）函数：收益R?R(x)是产品售出后所得的收入，是销售量x与

39

销售单价p之积.即收益函数为

R?R(x)?px.

⑤利润函数：利润L?L(x)是收益扣除成本后的余额，由总收益减去总成本

组成.即利润函数为

L?L(x)?R(x)?C(x) （x：销售量）.

(2)边际函数与边际分析

①边际函数的有关概念：设y?f(x)可导，则在经济学中称f?(x)为边际函数，

f?(x0)称为f(x)在x?x0处的边际值.

②经济学中常用的边际分析：

（a）边际成本：设成本函数为C?C(q)(q是产量），则边际成本函数MC为

MC?C?(q)；

（b）边际收益：设收益函数为R?R(q)(q是产量），则边际成本函数MR为

MR?R?(q)；

（c）边际利润：设利润函数为L?L(q)(q是销售量），则边际利润函数ML为ML?L?(q)；

（3）弹性函数与弹性分析

①弹性函数的有关概念：设y?f(x)可导，则称变到x??x时的相对弹性，称??lim性函数，记为

Ey，即 Ex?y/y为函数f(x)当x从x?x/x?y/yxf?(x)?f?(x)?x为函数f(x)的弹

?x?0?x/xyf(x)??Eyx?f?(x). Exf(x)它在经济学上解释为函数f(x)在x处的相对变化率.

②经济学中常用的弹性分析：

40

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