计算机实践

实验一

实验名称：

灰色系统理论及其应用

实验题目及结果：

1．某市工业、农业、运输业、商业各部门的数据如下：

工业：x1?(x1(1),x1(2),x1(3),x1(4))?(45.8,43.4,42.3,41.9)

农业：x2?(x2(1),x2(2),x2(3),x2(4))?(39.1,41.6,43.9,44.9)运输业：x3?(x3(1),x3(2),x3(3),x3(4))?(3.4,3.3,3.5,3.5)商业：x4?(x4(1),x4(2),x4(3),x4(4))?(6.7,6.8,5.4,4.7)分别以

，

为系统特征序列，计算灰色关联度。

在计算灰色关联度之前，先将数据进行变换和处理，使其消除量纲，具有可比性。根据上述序列，做曲线图为：

由表可以看出，工业与其它三个走势相反。所以无量纲化时，令农业、运输业、商业

yi?(1,xi(2)xi(3)xi(4),,) xi(1)xi(1)xi(1)令工业

yi?(1,xi(1)xi(1)xi(1),) xi(2)xi(3)xi(4)得到无量纲后的序列后，分别以??1, ??2为系统特征序列，计算灰色关联度（分辨率ρ = 0.5），如下表：

关联度 x1 x2

x1

1.0000 0.9031 x2

0.8920 1.0000 x3 0.8096 0.7658 x4 0.6442 0.6418

由关联系数表可以看出，??1与??2灰色关联度最大，??1，??2与??4的关联度最小，与表中所表示的相符。

2、y1= 170,174,197,216.4,235.8 ,y2= 57.55,70.74,76.8,80.7,89.85 ,y3= (68.56,70.85,85.38,99.83,103.4) 为系统特征行为序列，

x1= 308.58,310,285,346,367 ,x2= 195.34,189.9,189.2,205,222.7 x3= 24.6,21,12.2,15.1,14.57 ,x4= 20,25.6,23.3,29.2,30 ,x5= (18.98,19,22.3,23.5,27.66)为相关因素行为序列，试做优势分析。

设

Rijrij表示比较因素数列

xj对母序列yi的关联度，可以构造关联度矩阵为

。这里令分辨率ρ = 0.5，可以得到关联度矩阵为：

Rij=

从关联矩阵 R 可以看出： (1)、第3列元

明每一第3个行

小。即第三个序列有一定的独立性。

(2)、0.9354最大，表明第5个因素序列的大小对第1个特征序列的影响最大 (3)、在第4个序列中，0.8927最大，也为全局次大，表明第4个因素序列对第

3个特征序列的影响最大

3、某地区平均降雨量数据（单位：mm）序列为x= x 1 ,x 2 ,…x 17 = (390.6,412.0,320.0,559.2,380.8,542.4,553.0,310.0,561.0,300.0,632.0,540.0,

406.2,313.8,576.0,587.6,318.5)其中x(1),x(2),...,x(17)分别为1971,1972，...，1987年的数据，取?=320mm为下限异常值（旱灾），试作旱灾预测。

素都比较小，表个特征序列对为序列的影响

取?=320mm为下限异常值，可以得到发生旱灾的时间序列为：x=( 3, 8 ,10 ,14,17)（将序列值同时减去1970）。下面则对时间序列建立GM（1,1）模型，进行灰色预测。 GM（1,1）模型： (1)、数据的检验与处理

为保证建模的可行性，对原始数据进行必要的检验处理，计算数列的级比

x(0)(k?1)?(k)?(0),k?2,3,...n

x(k)得：

?(k)?（0.3750，0.8000，0.7143，0.8235），

可容覆盖域为

??(e?2n?1,e2n?2)=（0.7165，1.3307）。

因为λ不全在Θ内，所以将原序列作变换，令y=x+c,取c=10,变换后的序列的级比值为：

λ=(0.7222，0.9000，0.8333，0.8889)

全部位于可容覆盖域内。此时序列为x=(13,18,20,24,27)。 (2)、建立模型

将原始序列做一次累加，得到AGO序列为

x(1)?(13,31,51,75,102)

求均值序列为

z(1)?(22.0000,41.0000,63.0000,88.5000)

于是，建立微分方程模型为：

dx(1)?ax(1)(t)?bdt

???z(1)(2)?令u?(a,b)T,Y?(x(0)(2),x(0)(3),...x(0)(n))T，B???z(1)(3)?...??z(1)(n)??1??1?，则得...?1??u?(a,b)T?(BTB)?1BY. 得到预测值为：

bb?(1)(k?1)?(x(0)(1)?)e?ak?xaa

??22.0000??41.0000由上述算法生成的B=???63.0000???88.5000解得：

1.0000?1.0000??，Y??18,20,24,27?T。 1.0000??1.0000?u???0.1400?. 14.7434T所以预测值为：

?(1)(k?1)?118.3226*e0.14k?105.3226 x所以预测序列为

?(1)?( 13.0000,30x.7785,51.2283,74.7508,101.8076)

?(0)?( 7.7785,10.x4498,13.5225 ,17.0568)

(0)(0)令k=n=5,得x(6) =20.9299 ，x(7)=25.7985,因为20.9299-17=4。所以下

一次旱灾在4年以后。 （3）误差分析

对模拟数据进行残差检验，得到残差检验表为：

序号 2 3 4

实际数据

8 10 14

模拟数据 7.7785 10.4498 13.5225

残差 -0.0277 0.0450 -0.0341

相对误差 0.35% 0.45% 0.24%

5

17 17.0568 0.0033 0.02%

4. 乡镇企业的产值与其它四个行为因素的相关度如下：

关联度 产值

固定资产 流动资产 劳动力 企业留利 0.6398

0.7374

0.8532 0.7775

由表中可以看出，乡镇企业的产值与劳动力的关联度最大，所以可以重视劳动力的发展，与固定资产的关联度最小，即固定资产对乡镇企业的发展的影响相对较弱。而流动资产与企业留利对乡镇企业的发展影响居中。

5、设原始序列为x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),...x(0)(5))?(2.874,3.278,3.337,3.39,3.679)， 试建立GM(2，1)模型。 (1)模型建立

由题目得x(0)=(2.8740,3.278,3.337,3.39,3.679) x(0)的1－AGO序列为：

x(1)= 2.8740,6.1520,9.4890,12.8790,16.5580 ;

x(1)的1－IAGO 序列为：

α(1)x(0)= 0.4040,0.0590,0.0530,0.2890 ;

x(1)的紧邻增值序列为：

z 1 = 4.5130,7.8205,11.1840,14.7185 ;

建立GM(2,1)模型为：

α 1 x 0 k +a1x 0 k +a2z 1 k =b

其白化方程为：

d2x(1)dx(1)

+a1+a2x(1)=b 2dtdt令u=(a1,a2,b)T,对其进行最小二乘估计为：

u=(?2.0643,0.0866,?6.0332)T;

利用边界条件x 1 1 =2.8740,x 1 5 =16.5580 解白化方程得：

x 1 t =0.384239e?4?exp 2.02146?t

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