多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法

多个绝对值求和型函数最值问题的求解方法

命题设a1≤a2≤a3≤ ≤an,

Y＝︱x－a1︱＋︱x－a2︱＋︱x－a3︱＋ ＋︱x－an︱,求y达到最小值的条件： （1）当n＝2k时，x∈﹝ak,,ak＋1﹞,y值达到最小； （2）当n＝2k－1时，x＝ak时，y值达到最小。

利用绝对值的几何意义，可以方便的证明。(思考：穿根法思想试试？) 证明：（1）当n＝2k时

若ak＜ak＋1

︱x－a1︱＋︱x－a2k︱≥a2k－a1, 当且仅当x∈﹝a1,,a2k﹞时等号成立， ︱x－a2︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a2,当且仅当x∈﹝a2,,a2k-1﹞时等号成立，

︱x－ak︱＋︱x－ak+1︱≥ak+1－ak, 当且仅当x∈﹝ak,ak+1﹞时等号成立； 因为﹝ak,ak+1﹞是以上各区间的公共的子区间，

所以当且仅当x∈﹝ak,ak+1﹞时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。

若ak＝ak＋1时，当且仅当x＝ak＝ak+1时，以上各式的等号能同时成立,y才能达到最小。 （2）当n＝2k－1时，

︱x－a1︱＋︱x－a2k-1︱≥a2k-1－a1,当且仅当x∈﹝a1,a2k-1﹞时等号成立， ︱x－a2︱＋︱x－a2k-2︱≥a2k-2－a2,当且仅当x∈﹝a2,a2k-2﹞时等号成立，

︱x－ak-1︱＋︱x－ak+1︱≥ak+1－ak-1,当且仅当x∈﹝ak-1,ak+1﹞时等号成立； ︱x－ak︱≥0，当且仅当x＝ak时等号成立 因为x＝ak是以上各区间唯一公共的元素，

所以当且仅当x＝ak时，以上各式的等号能同时成立，y才能达到最小。

例1 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋ ＋︱x－19︱,求y的最小值。

解析:共19项，中项为10，由以上定理知，当且仅当x＝10时，y值达到最小。 代人x＝10，ymin＝90.

例2（第19届“希望杯”高二2试） 如果对于任意实数x,都有

y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋ ＋︱x－2008︱≥m成立,那么m的最大值是： （A）1003×1004 （B）10042 （C）1003×1005 （D）1004×1005

解析:m的最大值，即是y的最小值。

绝对值和式共2008项，中间两项分别是1004和1005， 当且仅当x∈﹝1004,1005﹞时，y能达到最小，

2

取x＝1004或x＝1005代人，ymin＝1004,故选（B）.

例3 y＝︱x－1︱＋︱x－2︱＋︱x－3︱＋︱x－4︱＞4，求x的解集。 解析:共4项，中间两项分别是2和3，当且仅当x∈﹝2,3﹞时，ymin＝4。 所以原不等式的解集是｛x︱x＜2或x＞3｝.

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