03年 上海交大 高等代数

上海交大数学专业考研真题

上海交通大学

2003年硕士研究生入学考试试题

试卷名称：高等代数

1

1（15分）设A 2

1

0 12

0

0 ，求A100. 1

2（15分）以P2 2表示数域P上的2阶矩阵的集合。假设a1,a2,a3,a4为两两互异的数

而

且

他

们

的

和

不

等

于

零

。

试

证

明

1

A1 a2

1a1 1 ,A2 4 a2a1 2a2 1

,A3 4 a2a2 3a3 1

,A4 4 a2a3 4a4

是P上线性空间4 a4

的一组基。

3（15分）证明：阶实对称矩阵A的秩为r, r n ，当且仅当A可以写成A CbC其中B为n r阶满秩矩阵，C为r阶可逆实对称阵。 4（15

分）假设

f0x

T

，

xf x x

4

101

2

f2x

x

15

3

f3x

20

x

4

f4x

25

被

432

x x x x 1整除。证明：fi x , i 0,1,2,3,4 被x 1整除。

5（15分）设A为阶反对称实矩阵，B diag a1,a2,...,an ,其中ai 0，证明A B 0。

6（15分）n阶方阵A满足等式A A2，当且仅当n r A r E A 。

7（20分）设A，B都是n阶实方阵，并设 为BA的非零特征值；以V 表示BA关

BAAB

也是AB的特征值；于 的特征子空间。（1）证明：（1）证明：维数 V =维数 V 。

BA

8（20分）设A，B都是n阶正定方阵。试证明：AB的特征值为实数。 9（20分）记V P

n n

, ，但，P为数域。假设A V有特征值 i i 1,2,...n

T

i i 1,2,...n, 均不是A的特征值。试证明：V的变换 :X XA AX为同构。

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