全国2009年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题

全国2009年4月高等教育自学考试

线性代数（经管类）试题

课程代码：04184

说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列

式，r(A)表示矩阵A的铁。

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

0?1011?1中元素a21的代数余了式A21=（ ） 01．3阶行列式aij=1?1A．-2 C．1

?a11?2．设矩阵A=??a?21a12??a21?a11???，B=??aa22?11??B．-1

D．2

a22?a12??01??10???????，P1=??，P2=??，则必有（ ）

?10??11?a12??????A．P1P2A=B B．P2P1A=B

C．AP1P2=B D．AP2P1=B

3．设n阶可逆矩阵A、B、C满足ABC=E，则B-1=（ ） A．A-1C-1 B．C-1A-1 C．AC D．CA ?010?????4．设3阶矩阵A=?001?，则A2的秩为（ ）

???????000?A．0 B．1 C．2 D．3

5．设?1,?2,?3,?4是一个4维向量组，若已知?4可以表为?1,?2,?3的线性组合，且表示法惟一，则向量组

?1,?2,?3,?4的秩为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

6．设向量组?1,?2,?3,?4线性相关，则向量组中（ ）

A．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合 B．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合 C．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合 D．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合 7．设?1,?2,?3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）

A．?1,?2,?1??2 C．?1,?2,?1??2 B．?1??2,?2??3,?3??1 D．?1??2,?2??3,?3??1

?20???8．若2阶矩阵A相似于矩阵B=??，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是（ ）

?2?3????10???A．??

?14?????10???C．??

??24?????10???B．??

?1?4?????10???D．??

??2?4???0??20?????9．设实对称矩阵A=0?42?，则3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的规范形为（ ） ???????02?1?222A．z1 ?z2?z322C．z1 ?z2222B．z1 ?z2?z322D．z1 ?z2

10．若3阶实对称矩阵A=（aij）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（ ） A．0 B．1

C．2 D．3

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a112a123a13a11a12a22a32a13a23=_______________. a3311．已知3阶行列式2a214a223a316a326a23=6，则a219a33a3112．设3阶行列式D3的第2列元素分别为1，-2，3，对应的代数余子式分别为-3，2，1，则D3=__________________.

?12???2

13．设A=??，则A-2A+E=____________________.

??10????12???14.设A为2阶矩阵，将A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩阵B.若B=??，则A=______________.

?34???

?001??????15.设3阶矩阵A=022?，则A-1=_________________. ???????333?16.设向量组?1=（a,1,1）,?2=（1,-2,1）, ?3=（1,1,-2）线性相关，则数a=________.

17.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线性方程组Ax=0有一个非

零解向量?=__________________.

18.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为?1=(1，1)T,

?2=(1，k)T，则数k=_____________________. 19.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_________. 20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩阵A=_____________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1x230中元素a12的代数余子式A12=8，求元素a21的代数余子式A21的值.

21.已知3阶行列式aij=x5?14??11???11?????22.已知矩阵A??，B=??,矩阵X满足AX+B=X，求X. ???10??02?????23.求向量组?1=(1,1,1,3)T，?2=(-1,-3,5,1)T，?3=(3,2,-1,4)T，?4=(-2,-6,10,2)T的一个极大无关组，并将向量组中的其

余向量用该极大无关组线性表出. ?ax1?x2?x3?0???

24.设3元齐次线性方程组?x1?ax2?x3?0，

????x1?x2?ax3?0

（1）确定当a为何值时，方程组有非零解；

（2）当方程组有非零解时，求出它的基础解系和全部解. ?201?????25.设矩阵B=?313?，

???????405?（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；

（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵?和可逆矩阵P，使P-1BP=?

22226.设3元二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3,求正交变换x=Py,将二次型化为标准形.

四、证明题（本题6分）

27.已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.

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