大学数学第二册详细答案汇总1

第一章 矩阵与行列式习题解答

练习1.1 矩阵及其运算

?x1?2y1?2y2?y3? 1. 已知线性变换?x2?3y1?y2?5y3??x3?3y1?2y2?3y3①②， 求从变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3③的线性变换。

解：由3x(1)–2×(2)得：4y2–7y3=3x1–2x2 ④ (3)–(2)得：y2–2y3=x3–x2 ⑤ (4)–4×(5)得：y3=3x1+2x2–4x3

类似运算可得：y1=–7x1–4x2+9x3， y2=6x1+3x2–7x3 故由变量x1，x2，x3到变量y1，y2，y3的线性变换为

?y1??7x1?4x2?9x3??y2?6x1?3x2?7x3 ?y?3x?2x?4x123?3 2. 已知两个线性变换

?x1?2y1?y3??x2??2y1?3y2?2y3 ?x?4y?y?5y123?3?y1??3z1?z2??y2?2z1?z3 ?y??z?3z23?3

求从z1, z2, z3到x1, x2, x3的线性变换。 解：将变换2代入变换1可得：

?x1??6z1?z2?3z3??x2?12z1?4z2?9z3 ?x??10z?z?16z123?311?11??1???1?，B=??1??1??011?11???1??1??1???1??02?252?253??T4?，求3AB–2A及AB ?1?3??1??4?–2?1??1??111?11???1? ?1??1? 3. 设A=?1??1?1? 解：3AB–2A=3?1??1?0? =3?0??2?1?T

AB=?1??1115?598??1??6?–2?1??0??11???1??1??1???1??011?12?251???2???1?=??2??1??43??0??4?=?0??1??25?5913?17298??6? ?0?22??20? ??2??1??2? 4. 解：(1) (35, 6, 49)T， (2) (10) (3) ??1???34??2? (4) ?6??6??20?7?58?? ?6?22(5) a11x12?a22x2?a33x3?2a12x1x2?2a13x1x3?2a23x2x3

?1 5. 设A=??12??1?，B=?3??10??，问 2?2

2

2

(1) AB=BA吗？ (2) (A+B)=A+2AB+B吗？ (3) (A+B)(A–B)=A–B吗？ ?1 解：AB=??1?1 A=??12

2

2

2??1??3??1?1??10??3?=?2??44??1， BA=??6??10??1??2??12??1?=?3??30?? 4?2??故 AB≠BA。 8?2??3?2??3?=?3??48?12??，B=?11??10??2??1??10??1?=?2??3 A+B=??2?22??0，A–B=??5??02??，直接验证可知 1? (A+B)2≠A2+2AB+B2，(A+B)(A–B)≠A2–B2。 6. 举反例说明下列命题是错误的：

(1) 若A2=0，则A=0，(2) A2=A，则A=0或A=E。 (3) 若AX=AY，且A≠0，则X=Y。 ?0 解：(1) 取A=??0?1 (2) 取A=??0?1 (3) 取A=??01?02?，则A=??0??01??0??0??01??0?=?0??00??，而A≠0。 0?1?12?，则A=??0??00??1，X=????10?1??1??0??01??1?=?0??01??=A，而A≠0，E。 0?0??1??0???11??1?=?1??01??1，Y=??1??01??1 则AX=??1??01?? 0??1 AY=??0?1??0??1??0??01??1?=?1??01?? 而A≠0，X≠Y。 0? 7. 设A=?0?23k?，求A，A，…，A。 1?0??1??1???0??1?=?1??2?0??132

?， A=AA=?1??2?0??1??1???0??1?=?1??3?0?? 1? 解：A=?2

?1?? …… 归纳得：Ak=???? 8. 设A=?0??0??2?2

解：A=?0?0??1?k?0??。 1?1?02?0??k1?，求A。 ?????31???3

2??，A=?02?0????k?13?2?2?300??43????423??，A=?03?0????4?3?406???34??。 4????k??? 归纳得：Ak=?0?0??3?k(k?1)?k2k?1k??k?20?k????。 ???T

9. 设A、B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BAB也是对称矩阵。 证：(BTAB)T=BTATB=BTAB，故BTAB为对称矩阵。

10. 设A、B都是n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA。 证：必要性：由AB对称知：AB=(AB)T=BTAT=BA。

充分性：由AB=BA得：AB=BA=BTAT=(AB)T，故AB为对称矩阵。

练习1.2 行列式

1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式

20?481121bb21c c2 (1) 1?1?1 (2) a3a 解：(1) –4 (2) (a–b)(b–c)(c–d)

2. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项。

解：由行列式定义，须在a11a23中补因子a3ia4j，且i≠j，i，j均不等于1和3。故i=2或4，j=4或2。故含有因子a11a23的项有–a11a23a32a44（前面负号由第二下标1, 3, 2, 4的逆序数确定）和a11a23a34a42。 3. 计算下列各行列式

21?120242361?12011122423611222?3?1?13?2?3?3r1?r3 (1)

315?abac?cdcf2?1103246aede ?ef2112?3r1?r2?2r1?r3 (2) bdbf1???3252?3111???????5r1?r42?3?7?103?2?7?92?3?5?8 解：(1)

315000

??????3r2?r4?2r2?r3000（有两行相同）。 ?0，

?abac?cdcfae (2) bdbfr1r2r3?bc?ccer1?r2r1?r3?bc02cede????abfb?efbe???4df0?e0 2e????4abcdef。0按c1展开 4. 证明：

a2aba?b12b23 (1) 2a1a2b?(a?b) 1b2?c3?c?c3?c2aba?b1a?b22ab?ba?b02b23 证：2a12b????2a?2b102b?(a?b) 1ax?byay?bzaz?bxax?byaz?bx33xyzxzx y（2）ay?bzaz?bxax?by?(a?b)yay?bzz 证：

ax?byay?bzaz?bxax?byaxaz?bx ay?bzaz?bx按c1拆开axay?bzaz?bxax?bybxaxaz?bxbyay?bzaz?bxax?bybzbxbybxby bzaz?bxax?by ay?bzax?by????ayay?bzayazaxazaxazayazaxax?by?bzay?bzbzbxbyazbxax ???????ayaz按c2拆开ax?ayayazby?aybzazax?ayayaz by?bzbxayazaxazbyayazax2222bxbybzbxbyazbybzbxbybx33xyzxzx。 yax?bzay2222by?bzbz2222ax?bzay2222by?(a?b)ybzzbxbxbxa(a?1)(b?1)(c?1)(d?1)2222(a?2)(b?2)(c?2)(d?2)2222(a?3)(b?3)(c?3)(d?3)2222 (3)

bcd?0

a(a?1)(b?1)(c?1)(d?1)a2222(a?2)(b?2)(c?2)(d?2)222200?xa2(a?3)(b?3)(c?3)(d?3)2222?c1?c2a?????c1?c3?c1?c422222a?12b?12c?12d?14a?44b?44c?44d?46a?96b?96c?96d?9 证：

bcdbcd

2a?12b?12c?12d?10?1?0an?2?1x?0an?1?????0?1?0666600??1x?a100?xa200??1x?a1n?2?2c2?c3 ?????3c2?c4bcd?0（因两列相同）。

x0?1x?0an?1x0 (4) ?0an?x?a1xnn?1???an?1x?an

?????按c1展开 证：Dn??0an2????xDn?1?an将Dn?1

????x(xDn?2?an?1)?an按c1展开an?2 ?xDn?2?an?1x?an????xD2a3xn?3???an?1x?an

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