常州市教育科学十二五规划课题高中生数学交流能力的培

常州市教育科学“十二五”规划课题高中生数学交流能力的培养研究

课堂观察活动记录

授课教师 陈维杰 授课对象 高一（2） 授课时间 4.11 观察主题 高一新授课上教师如何指导学生小组交流、合作学习 研究目的 探究高一新授课中如何以交流的方式促进学生数学素养的提高 课堂实录 目标达成情况及改进建议 师:同学们，通过前面的学习，我们知道，当角的概念推广 之后，在弧度制下，实数集与角的集合之间就形成了一一 对应的关系，而当角确定之后，正弦值随之确定，余弦值 也随之确定，这样，任意给定的一个实数x,有唯一确定的 值sinx(或cosx)与之对应。由这个法则所确定的函数y=sinx 引导学生回忆学过的内容 (或y=cosx)叫做正弦函数(或余弦函数). 师: 正弦函数和余弦函数的定义域是多少？ 生：定义域为R. 师:在遇到一类新的函数时，我们通常会先作出它的图象， 然后通过图像来研究它的性质. 通过图象可以研究函数的哪些性质？ 生：值域、单调性、奇偶性、最大值、最小值等. 师:这节课我们首先来研究正弦函数和余弦函数的图象. 师:在研究正弦函数和余弦函数图象之前,请同学们观看一个物理实验. （多媒体展示 “简谐运动的位移和时间关系”图象，让学生经历从“生活世界”到“科学世界”，感受三角函数变化的特定规律，并从直观上认识正弦函数和余弦函数图象.） 生：专心观察纸板上形成的曲线形状. 师:通过刚才的物理实验，我们对正弦函数和余弦函数图象已经有了一个直观的认识，但这是从物理实验中得到的，在数学中，我们如何利用所学过的数学知识来作出正弦函数和余弦函数图象呢？ 下面我们首先来研究正弦函数y=sinx，x?[0,2?]的图象. 二．讲授新课 教师板书，引出课题：正弦函数、余弦函数的图象 多媒体展示感受运动,替代强化 学生独立思考和小组讨论交流，其中有自评和互评，让学生主动发挥学习的主动性和积极性。交流气氛浓厚！好！ 1．利用单位圆中的正弦线作函数的图象 师:以前我们用描点法作函数图象的时候，一般分哪几个步骤？ 生：列表、描点、连线． 师:在列表的时候，我们一般在定义域内任意取一些自变量的值，然后计算出相对应的函数值.但是，对于正弦函数来说，它具有“周而复始”的变化规律，根据诱导公式一——终边相同的角同名三角函数值相等，我们总可以把任意角的三角函数化成[0,2?]内的三角函数来研究，因此，我们先来研究y=sinx在[0,2?]的图象． 教师引导学生列表， 师生共同讨论总结描点法的弊端, 当x取值时，y的值大都是近似值，加之作图上的误差，不易描出对应点的精确位置. 师:（进一步提出问题）如何作出比较精确的正弦函数的图象？ 教师引导学生进行分析：要作出比较精确的正弦函数的图象，关键是要把“列表”中的点的纵坐标精确的标出来，注意到点的纵坐标其实都是正弦值，因此，问题转化成如何在坐标系中表示正弦值。因为在前面已经学习过三角函数线——三角函数线从“形”的角度刻画了三角函数值的大小，这样学生很自然的想到利用单位圆中的三角函数线来表示点的的纵坐标——正弦值． 师:引导学生回顾三角函数线的相关知识——如何做正弦线? 生：建立坐标系,以原点为圆心做单位圆，与角α终边交于点P，过点P做PM垂直于x轴于点M，则有向线段MP叫正弦线． 师:多媒体演示利用正弦线作正弦函数y=sinx，x?[0,2?]的图象，边演示，边讲解，并不时的提问学生，与学生交流． ?? 师:在刚才的作图过程中，我们同样是利用了描点法，所不 让学生清楚为什么先研究y=sinx在[0,2?]的图象，而不像研究其它函数的图象那样，直接在整个定义域上研究 以具体题目为依托，学生和老师进行交流，明确题目的解决方法，充分发挥师生交流的功效。好！ 对作图过程进行小结，让学生进一步体会用正弦线描点的精确性 师生交流的气氛很活跃 同的是，在描点的时候，我们利用了三角函数线，使得描出来的点比较精确． 师:我们知道正弦函数的定义域是R，但是刚才得到的仅仅是[0, 2π]上的图象． 提出问题：如何由y=sinx，x?[0,2?]的图象得到y=sinx，x?R的图象． 2．由函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象得到函数y=sinx，x∈R的图象 教师结合图形，引导学生继续研究[2π,4π]上的图象，让学生观察，发现：[2π,4π]上的图象和[0, 2π]上的图象都是由相 先让学生从直观上感受[2π,4π]上的图象，再用诱导公式一同的正弦线通过平移过去得到的，因此，[2π,4π]上的图象从理论的高度上解释、认识，和[0, 2π]上的图象在形状上是完全一样的，只是位置不同，学生较容易接受，如果一下就利用诱导公式一来解释由即要得到[2π,4π]上的图象只需把[0, 2π]上的图象像右平移y=sinx, x∈[0, 2π]的图象得2π个单位，其他区间上的图象也可以用类似的方法得到． 到y=sinx,x∈R的图象的过程，师生形成共识:把函数y=sinx, x∈[0, 2π]的图象沿x轴左右比较抽象，学生不易理解 平移，每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx,x∈R的图象. 师：多媒体演示由y=sinx, x∈[0, 2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程． 师:（小结）由y=sinx, x∈[0, 2π]的图象得到y=sinx,x∈R的图象的过程中，我们实际上根据的是诱导公式一：sin(x+2k?)=sinx, k?Z． 师:以后要作正弦函数的图象，关键先作出哪个区间上的图象？ 生:先作[0, 2π]的图象，然后沿x轴左右平移，每次平移2π个单位，就可以得到y=sinx,x∈R的图象． 3．用“五点法”作正弦函数的简图 师:在以后的学习中，我们将不断作出正弦函数的图象，同 学们想一想，如果每次作正弦函数的图象都用这种方法的话，麻烦不麻烦？ 生:虽然精确，但很麻烦． 师:（进一步提出问题：）在精确度要求不太高时，如何作正弦函数的图象呢？ 师:引导学生观察与思考：观察我们用单位圆中的正弦线作出的函数y＝sinx，x?[0，2?]的图象，你发现有哪几个点在确定图象的形状起着关键作用？ 生:观察、思考、发现：在确定图象的形状起着关键作用五个点：(0,0)、(?3?,1)、(π,0)、(,-1)、(2π,0). 22 教师组织学生讨论、交流引导师:（小结：）讲解“五点法”，在精确度要求不太高时，要作y＝sinx，x?[0，2?]的图象，只需先描出五个关键的点，学生利用诱导公式由正弦函数再用光滑的曲线把它们连接起来.这种作图的方法称为“五的图象得出余弦函数的图象，点法”，这五个关键的点分别是：最高点，最低点以及与x轴的交点，每个点的横坐标的取值是有规律的——每隔取一个值． 4． 由正弦函数的图象得到余弦函数的图象 师:（过渡）到这里，我们这节课的第一个问题——正弦函数的图象就解决了，对于余弦函数的图象，我们是否可以用类似的方法来研究？ 生:可以，但比较麻烦． 师:要求学生课后用余弦线作余弦函数的图象，并提出问题：以正弦函数的图象为基础，你能不能很快作出余弦函数的图象？ 探究：你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图象变换得到余弦函数的图象吗？ 师：我们学过的哪个诱导公式能够实现正弦和余弦的互化？是需要把正弦化余弦，还是余弦化正弦？ 并动态演示过程． ?2 通过探究，使学生从函数解析式之间的关系思考函数图象之间的关系，进而学习通过图象变换画余弦函数图象的方法，向学生渗透化归转化的数学思想 ? 生1：把余弦化正弦，y?cosx?sin(?x)； 2 师：（继续引导）还没有其它的诱导公式能够实现余弦化正这些问题的答案的分歧是本节课的亮点，以学生的回弦？ 答为例，一方面学生向大家?生2：y?cosx?sin(?x)； 交流自己的想法，另一方面2师：（对学生的回答表示肯定与赞赏）非常好！要作y?cosx的图象，只要作y?sin(?2?x)或y?sin(?2?x)的图象。从函数图象变换的角度考虑，如何由y＝sinx的图象得到y?sin(的图象，哪一个更简单？ ?2?x)或y?sin(?2?x)生：由y＝sinx的图象得到y?sin(?2?x)的图象，需要经过两次图象变换，而由y＝sinx的图象得到y?sin(的图象只要经过一次变换即向左平移更简单. ?2?x)?个单位，所以后者2师：这样，我们通过平移，就得到了余弦函数的图象． 5． 用“五点法”作余弦函数的简图 师：同样，以后我们要作余弦函数的图象，关键也是先作出[0，2?]上的图象． 师：（探究：）类似于正弦函数图象的五个关键点，你能找出余弦函数的五个关键点吗？ 生：通过观察类比，确定余弦函数图象的五个关键点(0,1)、( ?3?,0)、( π,-1)、(,0)、(2π,1). 22生：（总结方法） 在精确度要求不太高时，先作出函数y＝sinx和y=cosx的五个关键点，再用光滑的曲线将它们顺次连结起来，就得到函数的简图。这种作图法叫做“五点（画图）法”． 生：（小结）到这里，我们这节课的两个问题就都解决了.我们主要是学习了作三角函数图象的两种方法：利用三角函数线作正弦函数的图象和利用“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图.用三角函数线作函数的图象虽然精确但比较麻烦，在今后的学习中，我们更多的是用“五点法”，它更实用. 下面我们就一起用“五点法”来作与正弦函数和余弦函数有关的简单函数的图象. 6．典例讲解 也接受同学们的质疑，生生交流，效果好。 学生总结，是学生个体和班级集体之间的交流互动。 通过具体实例让学生动手操作,对于（1），教师重点、详细讲解，并多媒体演示过程,对于（2），则由学生练习，独立完成. 教师个别指导，学生列表,描点,师点评，并及时纠正学生作图过程中存在的问题.

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