电路第四版答案12

第十二章非正

12—1 求图示波形的傅里叶级数的系数。 解：f(t) 在第一个周期(?1T?2?)内的表达式为

题12-1图

?Em?????(?1t??)????1t????Em?f(t)??(?1t)????1t??

?????1t????Em(?t??)1?????显然,f(t)为奇函数? f(t)展开为傅里叶级数为

f(t)?a0?(akcosk?t?k1?1??bksink?1t)

由于f(t)为奇函数 , 所以 , 有a0?0,ak?0。

?EEmm(?1t??)sin(k?1t)d(?1t) 而 bk=?[(?1t)sin(k?1t)]d(?1t)??aa???0a2a =

aEm????1t2?Em?1t11cos(k?1t)?2sin(k?1t)]?[cos(k?1t)?cos(k?1t)?2sin(k?1t)]??[?0a??ka???akkkk

=

2Emsinka (k=1,2,3…….)

k2a(??a)12—2 以知某信号半周期的波形如图所示。试在下列各不同条件下画出整个周期的波形：

（1）a0=0; (2) 对所有 k，bk=0;（3）对所有 k，ak=0;（4）ak 和bk 为零，当k 为偶数时。

解：（1）当 a0=0 时，在后半个周期上，只要画出 f(t) 的负波形与横轴（ t轴）所围面积与已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。以下题解12—2 图中的（b），（c）图均满足此条件。

题12-2图

（a） （b）

（c） 题解12-2图

（2）对所有k,bk=0,f(t)应为偶函数，即有f(t)=f(-t),波形如题解12—2图（a）所示，波形对称于纵轴。

（3）对所有 k,ak=0,f(t) 应为奇函数，即f(t)= -f(-t), 波形如图（b）所示，波形对称于原点。

（4）ak 和 bk为零，当k 为偶数时，此时，f(t) 称为奇谐波函数，既 ak 和 bk只出现在k为奇数时，函数f(t) 满足镜对称性质，即有f(t)= -f(t+所示。

注：12—1和12—2题的分析说明，周期函数含有某种对称时，其傅里叶级数中不含某些谐波。充分利用这些对称性，可使分解计算大为简化。需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外，还与计时起点的选择有关，因此，对某些周期函数可以适当选择计时起点，使它成为奇函数或偶函数，以便简化傅立叶级数的系数计算。

12—3 一个RLC 串联电路。其R=11?,L=0.015H ,C=70?F , 外加电压为 u(t) = [11+141.4cos(1000t) –35.4sin(2000t)]V 试求电路中的电流i(t) 和电路消耗的功率。

解： RLC 串联电路如题解12—3图所示，电路中的非正弦周期电压 u(t) 为已知，分别有直流分量，基波和二次谐波分量。可写出电流相量的一般表达式

T) , 波形如图（c）2

I?k?.U?k???Z?k?.?U(k)1R?j(k?L?)k?C

其中 ,?L =15?,1=14.286? . ?C 电压分量分别作用，产生的电流和功率分量为：

（1） 直流 U0=11V 作用时，电感L 为短路，电容 C 为开路，故，I0=0 , P0=0 。 （2） 基波 (k=1)作用时，令U=100?00V

. Z(1) = R+j(?L — 故 I?1? =

.1) =（11+j0.714）? =11.023?3.710? ?C?U(1)Z(1)100?00 = =9.072??3.710 A 011.023?3.71 P(1) = I(21)R = 905.28 W ?=35.4?900=25.032?900V （3）二次谐波 (k=2) 作用时，令U(2)2 Z(2)=R +j(2?L —

11) =11 +j(30 — ?14.286) =25.366?64.30?

22?C?= 故 I(2)?U(2)Z(2)25.032?9000?25.7= = 0.987 A 025.366?64.3 P(2)=I(22)R =(0.98)2?11 = 10.716 W 所以，电路中的电流 i (t) 为

i (t) = 0 +2?9.072 cos (1000t — 3.710) +2?0.987 cos(2000t + 25.70) = 12.83 cos (1000t - 3.710) – 1.396 sin (2000t – 64.30) A 电路消耗的功率

P = P0 +P(1)+P(2) = 905.28 +10.716 = 916 W 12—4 电路如图所示，电源电压为

uS(t) = [ 50 + 100 sin ( 314t ) – 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + 200)]V 试求电流 i (t) 和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。

? (采用复振幅相量)。解：设电流i (t) 第 k 次谐波的向量为I（1）当 k = 0 ，m(k)直流分量U0= 50V 作用时，电路如题解 12-4 图所示，有Z0 =R +R1 = 60 ? ，故

I0=

U0505 == A 606Z05= 41.667 W 6 Ps0 = U0I0 = 50?0???90（2）当 k=1 ，即 ?=?1=314rads, 基波向量 U= 100 V 作用时，有 sm(1) Z(1) = 10 + j3.14 +

j0.0157?1150?j31.4 = 71.267 ??19.310 ?

故

? = Im(1)Ps(1) =

?Usm(1)Z(1)100??9000??70.69 = = 1.403 A 071.267??19.3111Usm(1)Im(1)cos(?19.310)??100?1.403cos19.310 22 =66.2 W

0? （3）当 k=2 ，即 ??2?1?628rads, 二次谐波向量Usm(2)??40?0 V 作用时，

有

Z(2)?10?j6.28?j0.0314?1150?j62.8?42.528??54.5520?

故

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