常微分方程习题及标准答案

第十二章 常微分方程

(A)

一、是非题

1．任意微分方程都有通解。( )

2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( )

3．函数y?3sinx?4cosx是微分方程y???y?0的解。( ) 4．函数y?x2?ex是微分方程y???2y??y?0的解。( ) 5．微分方程xy??lnx?0的通解是y?12?lnx?2?C(C为任意常数)。( 6．y??siny是一阶线性微分方程。( ) 7．y??x3y3?xy不是一阶线性微分方程。( ) 8．y???2y??5y?0的特征方程为r2?2r?5?0。( ) 9．

dydx?1?x?y2?xy2是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题

1．在横线上填上方程的名称 ①?y?3??lnxdx?xdy?0是。 ②?xy2?x?dx??y?x2y?dy?0是。 ③xdydx?y?lnyx是。 ④xy??y?x2sinx是。 ⑤y???y??2y?0是。

2．y????sinxy??x?cosx的通解中应含个独立常数。 3．y???e?2x的通解是。 4．y???sin2x?cosx的通解是。

5．xy????2x2y?2?x3y?x4?1是阶微分方程。 6．微分方程y?y????y??6?0是阶微分方程。

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) 1所满足的微分方程是。 x2y8．y??的通解为。

x7．y?9．

dxdy??0的通解为。 yx5dy2y10．???x?1?2，其对应的齐次方程的通解为。

dxx?111．方程xy???1?x2?y?0的通解为。 12．3阶微分方程y????x3的通解为。 三、选择题

1．微分方程xyy???x?y???y4y??0的阶数是( )。

3A．3 B．4 C．5 D． 2

2．微分方程y????x2y???x5?1的通解中应含的独立常数的个数为( )。

A．3 B．5 C．4 D． 2

3．下列函数中，哪个是微分方程dy?2xdx?0的解( )。 A．y?2x B．y?x2 C．y??2x D． y??x 4．微分方程y??3y的一个特解是( )。

A．y?x3?1 B．y??x?2? C．y??x?C? D． y?C?1?x?

32323 5．函数y?cosx是下列哪个微分方程的解( )。

A．y??y?0 B．y??2y?0 C．yn?y?0 D． y???y?cosx 6．y?C1ex?C2e?x是方程y???y?0的( )，其中C1，C2为任意常数。 A．通解 B．特解 C．是方程所有的解 D． 上述都不对 7．y??y满足y|x?0?2的特解是( )。

A．y?e?1 B．y?2e C．y?2?e D． y?3?ex 8．微分方程y???y?sinx的一个特解具有形式( )。 A．y*?asinx B．y*?a?cosx

xxx22 / 14

C．y*?x?asinx?bcosx? D． y*?acosx?bsinx 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。 A．y???2y?0 B．y???xy??3y2?0 C．5y???4x?0 D． y???2y??1?0

10．微分方程y??y?0满足初始条件y?0??1的特解为( )。 A．ex B．ex?1 C．ex?1 D． 2?ex

11．在下列函数中，能够是微分方程y???y?0的解的函数是( )。 A．y?1 B．y?x C．y?sinx D． y?ex

12．过点?1,3?且切线斜率为2x的曲线方程y?y?x?应满足的关系是( )。 A．y??2x B．y???2x C．y??2x，y?1??3 D． y???2x，y?1??3 13．下列微分方程中，可分离变量的是( )。

dyydy??e B．?k?x?a??b?y?(k,a,b是常数) dxxdxdyC．?siny?x D． y??xy?y2?ex

dxA．

14．方程y??2y?0的通解是( )。

A．y?sinx B．y?4?e2x C．y?C?e2x D．y?ex 15．微分方程

dxdy??0满足y|x?3?4的特解是( )。 yxA．x2?y2?25 B． x2?y2?7 3x?4y?C C．x2?y2?C D．16．微分方程

dy1??y?0的通解是y?( )。 dxxC1A． B．Cx C．?C D． x?C

xx17．微分方程y??y?0的解为( )。 A．ex B．e?x C．ex?e?x D． ?ex

18．下列函数中，为微分方程xdx?ydy?0的通解是( )。

A．x?y?C B．x2?y2?C C．Cx?y?0 D． Cx2?y?0

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19．微分方程2ydy?dx?0的通解为( )。

A．y2?x?C B．y?x?C C．y?x?C D．y??x?C 20．微分方程cosydy?sinxdx的通解是( )。 A．sinx?cosy?C B．cosy?sinx?C C．cosx?siny?C D． cosx?siny?C 21．y???e?x的通解为y?( )。

A．?e?x B．e?x C．e?x?C1x?C2 D．?e?x?C1x?C2 22．按照微分方程通解定义，y???sinx的通解是( )。 A．?sinx?C1x?C2 B．?sinx?C1?C2 C．sinx?C1x?C2 D． sinx?C1?C2 四、解答题

1．验证函数y?C?e?3x?e?2x(C为任意常数)是方程并求出满足初始条件y|x?0?0的特解。

dy?e?2x?3y的通解，dx?x?y2?1?dx?y?1?x2?dy?02．求微分方程?的通解和特解。

?y|x?0?13．求微分方程

dyyy??tan的通解。 dxxxxy??y???yx的特解。 4．求微分方程??y|?2?x?15．求微分方程y??y?cosx?e?sinx的通解。

dyy??sinx的通解。 dxx7???x?1?y??2y??x?1?2?07．求微分方程?的特解。

??y|x?0?12y?x8．求微分方程y???2满足初始条件x?0，y?1，y??3的特解。

x?16．求微分方程

9．求微分方程y???2yy?满足初始条件x?0，y?1，y??2的特解。

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10．验证二元方程x2?xy?y2?C所确定的函数为微分方程

?x?2y?y??2x?y的解。

11．求微分方程?ex?y?ex?dx??ex?y?ey?dy?0的通解。 12．求

dy?y?tanx?secx，y|x?0?0的特解。 dx13．验证y1?cos?x，y2?sin?x都是y????2y?0的解，并写出该方程的通解。

2y?x214．求微分方程y??的通解。

x1y?ex?0满足初始条件y?1??0的特解。 xdy2316．求微分方程?y??x?1?的通解。

dxx?115．求微分方程y??17．求微分方程

xydx?dy?0满足条件y?0??1的特解。 1?y1?x18．求微分方程y???y??2y?0的通解。 19．求微分方程y???2y??5y?0的通解。 20．求微分方程y???4y??4y?0的通解。 21．试求y???x的经过点M?0,1?且在此点与直线y?(B)

一、是非题

1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。( )

2．若y1?x?，y2?x?都是y??P?x?y?Q?x?的特解，且y1?x?与y2?x?线性无关，则通解可表为y?x??y1?x??C?y1?x??y2?x??。( )

3．函数y?e?1x?e?2x是微分方程y?????1??2?y???1?2y?0的解。( ) 4．曲线在点?x,y?处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是y??x2?C(C是任意常数)。( )

5．微分方程y??e2x?y，满足初始条件y|x?0?0的特解为ey?5 / 14

x?1相切的积分曲线。 212xe?1。( ) 2

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