数学人教A版必修四学案：2.3 平面向量的基本定理及坐标表示（1-2

§2.3.1平面向量基本定理

§2.3.2平面向量正交分解及坐标表示

【学习目标】1. 掌握平面向量基本定理；了解平面向量基本定理的意义； 2. 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：

复习1：向量b、aa?0是共线的两个向量，则a、b之间的关系可以表示为. 复习2：给定平面内任意两个向量e1、e2，请同学们作出向量3e1?2e2、e1?2e2.

??

（二）自主探究：（预习教材P93—P96） 探究：平面向量基本定理

问题1：复习2中，平面内的任一向量是否都可以用形如?1e1??2e2的向量表示呢？

???那么有且只有一对实数?1,?2,使。其中，不共线的这两个向量e1,e2叫做表示这一平面内所

??有向量的基底。

问题2：如果两个向量不共线，则它们的位置关系我们怎么表示呢？

1.平面向量的基本定理:如果e1,e2是同一平面内两个的向量，a是这一平面内的任一向量，

????2.两向量的夹角与垂直：:我们规定：已知两个非零向量a,b，作OA?a,OB?b，则叫

????做向量a与b的夹角。如果?AOB??,则?的取值范围是。当时，表示a与b同向；当

????时，表示a与b反向；当时，表示a与b垂直。记作：a?b.在不共线的两个向量中，??90，

即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为_____________，叫做把向量正交分解。 问题3：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表

示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？

3、向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同于两个_______作为基为基底。对于平面内的任一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y使得____________，这样，平面内的任一向量a都可由__________唯一确定，我们把有序数对________叫做向量的坐标，记作=___________此式叫做向量的坐标表示，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标。几个特殊向量的坐标表示

i?___________,j?_________,o?___________

二、合作探究

学法引领：首先画图分析，然后寻找表示。 1、已知梯形ABCD中，AB//DC，且AB?CD2，设AD?a，E、F分别是DC、AB的中点，

AB?b。试用a,b为基底表示DC、BC.

2、已知O是坐标原点，点A在第一象限，OA?43，?xOA?60，求向量OA的坐标.

三、交流展示

OB=_______。1、已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），O为原点，则OA=________，

2、已知向量a的方向与x轴的正方向的夹角是30°，且|a|?4，则a的坐标为__________。 3、已知两向量e1、e2不共线，a?2e1?e2，b?3e1?2?e2，若a与b共线，则实数?=.

4、在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，若BC?5e1，DC?3e2，则OC等于多少？

四、达标检测（A组必做，B组选做）

A组：1. 设O是平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点，下列向量组，其中可作为这个平行四边形所在平面表示所有向量的基底是（） ①AD与AB②DA与BC③CA与DC④OD与OB

A.①② B.③④ C.①③ D.①④ 2. 已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足?3x?4y?e1??2x?3y?e2?6e1?3e2，则x?y的值等于（）

A.3 B.?3 C.0 D.2 3. 若O、A、B为平面上三点，C为线段AB的中点，则（） A.OC?OA?OB B.OC???????＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为

11OA?OB C.AB?2OC D.OC?OA?OB 22????4.已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD????B组：1、已知ＡＭ是△ＡＢＣ的ＢＣ边上的中线，若AB＝a，AC＝b，则AM＝（ ）

1??1??1??1??Ａ．（a－b）Ｂ． －（a－b）Ｃ．－（a＋b）Ｄ．（a＋b）

2222

2、已知点A（2，2） B（-2，2） C（4，6） D（-5，6） E（-2，-2） F（-5，-6） 在平面直角坐标系中，分别作出向量AC BD EF并求向量AC BD EF的坐标。

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