6． 平面区域视角
例 6 ( 2011 年全国高中数学联赛甘肃赛区试题)
8
82
83
82014
设［x］表示不超过实数 x 的最大整数，则在平面
试卷) A = ［ 9 ］+ ［9 ］+ ［9 ］+ … + ［ 9 ］被 63 除 ． ( 符号［x］表示不超过 x 的最大整 的余数为 数． )
－数，且8 上，由满足［x］ + ［y］ = 50 的点所形成的图形的面积 是
． 2 2
1
82k －1
与82k
2 2
分析: 在平面上，由［x］ + ［y］ = 50 的点所形成 的图形关于 x 轴，y 轴对称，故可先考察第一象限的情
2 2
2 2 2 2 2 2
况，即 x ＞ 0，y ＞ 0 时，由［x］ + ［y］ = 50 得
?
［x］
?= 49， ［x］
??= 25， ［x］ = 1，
［y］= 1． ［y］= 25． ［y］所以相应有
= 49． ［x］ = 7， ［x］ = 5， ［x］ = 1，
2k + 8 = 82k －1 ． 9 9
82k －1 82k 82k －1 82k +所以对任意正整数 k，［ 9 ］+ ［9 ］ = 9 9 2k1 － 1 = 8 － ≡ 7( mod63) ． 2 3 8 8 8 82014
2k
分析: 因为对任意正整数 k， 9
9 均不是整
?
［y］ = 1，［y］ = 5，［y］ = 7， 7 ≤ x ＜ 8， 5 ≤ x ＜ 6， 1 ≤ x ＜ 2，
??故
??
所以 A = ［ 9 ］ + ［ 9 ］ + ［ 9 ］ + … + ［ 9 ］≡
1007 × 7 ≡ 56( mod63) ．
1 ≤ y ＜ 2，5 ≤ y ＜ 6，7 ≤ y ＜ 8．
故在第一象限形成的图形的面积为 3． 故在平面 上，由满足［x］ + ［y］ = 50 的点所形成的图形的面积 是 12．
2
2
7． 数论视角
例 7 ( 2014 年全国高中数学联赛福建赛区预赛
［1］ 刘绍学． 普通高中课程标准试验教科书 － 数学
( 必修 1) ［M］． 北京: 人民教育出版社，2007． ［2］ 洪恩锋． 源于课本例题的一个活跃函数 ——— 高
斯函数［J］． 中学生数学: 高中版，2014( 10) : 42 － 43．
［广东省兴宁市第一中学 ( 514500) ］
参考文献:
探究圆锥曲线中的最值和范围问题
■ 李成群
摘要: 圆锥曲线中的最值与取值范围问题是教学 的重点也是教学的难点． 又是高考的重点，还是学生的 失分点． 解析几何中的变量范围及最值问题的讨论，关 键也是依据解析几何本身的特性，建立起不等式． 关键词: 问题探究; 最值; 取值范围问题 圆锥曲线中的范围、最值问题常见的分析思路: ( 1) 圆锥曲线上的点到定点的距离的最值问题，常用 两点间的距离公式转化为区间上的二次函数的最值问 题解决，有时也用圆锥曲线的参数方程，化为三角函数 的最值问题或用三角形的两边之和( 或差) 与第三边
的不等关系求解． ( 2) 圆锥曲线上的点到定直线的距 离的最值问题解法用平行切线法． ( 3) 点在圆锥曲线 上( 非线性约束条件) 的条件下，求相关式子( 目标函 数) 的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角 函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参 数( 有几何意义) 化为函数进行处理．
例 1 如图 1，已知抛物线 C 的 顶点为 O( 0，0) ，焦点为 F( 0，1) ． ( 1) 求抛物线 C 的方程; ( 2) 过点 F
作直线交抛物线 C 于 A，B 两点． 若 直线 AO，BO 分别交直线 l: y = x －
， ， | MN | 的最小值．
图 1
2
作者简介: 李成群( 1979 －) ，男，中学一级教师，主要从事中学数学教育
2 于 M N 两点 求
解析: ( 1) 由题意可设抛物线 C 的方程为 x =
研究
· 29·
2py( p ＞ 0) ，则 p /2 = 1，所以抛物线 C 的方程为 x4y．
2 =
( 2) 设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 ) ，直线 AB 的方程为 y = y = kx + 1，
kx + 1． 由c c
故选( A) ．
2
1 = a + m ≤ 4 3 ，当且仅当 a = 3m 时，等号成立， + e 3
消去 y，整理得 x － 4kx － 4 = 0， 所以 x1 + x2 = 4k，x1 x2 = － 4． 从而 | x1 － x2 | = y = ( y / x ) x，
2 解得点 M 的横坐标 x = 4 k + 1 ． 由 1 1
2 ?x = 4y．
小结: 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法: 一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解; 二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个( 些) 参数的函数( 解析式) ，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
2
2x1
x－ y1 = 1 － x1 /4 = 4 － x1 ． 同理点 N 的横坐标 xN =
8 / ( 4 － x2 ) ． 所以 | MN | =
1 x2x1
?y = x － 2．
M
8
22 | xM － xN | = 2 | 8 / ( 4 － x1 ) － 8 / ( 4 － x2 ) | = 8 2
x2 例 3 已知椭圆 C: 2 a
+ y2 = 1( a ＞ b ＞ 0) 上的 b
2
|
x1 － x2
| =
8 2 k + 1
2
任意一点到它的两个焦点( － c，0) ，( c，0) 的距离之和为
． 令4k － 3 = t，
x1 x2 － 4x1 + x2 + 16 | 4k － 3 |
2 2 ，且它的焦距为 2． ( 1) 求椭圆 C 的方程; ( 2) 已
t ≠ 0，则 k = ( t + 3) /4． 当 t ＞ 0 时，| MN | =
252 2 + 6 + 1 ＞ 2 2 ．
知直线 x － y + m = 0 与椭圆 C 交于不同的两点 A，B， 且线段 AB 的中点不在圆 x + y = 5 /9 内，求 m 的取值 范围．
22 t
当 t ＜ 0 时，| MN | = 2 2 ( 5 + 3 ) + 16 ≥ 8 2 t
25 5 5 综上所述，当 t = － 25 /3，即 k = － 4 /3 时，| MN |
8
t
2
2
．解析: ( 1) 依题意可知
?2c = 2． ?
2a = 2 2 ， 2 2
又 b = a
2
－ c ， 解得的最小值是 5
2 ．
?b = a = 2 ，
2
2
x /2 + y 1． 则椭圆2 C 的方程为2 x /2 + y = 1， x － y + m = 0，
2
= 1．
2
例 2 已知 F1 ，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P
( 2) 联立方程
消去 y 整理得 3x
是它们的一个公共点，且 F1 PF2 = π/3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
( A)
2+ 4mx + 2m － 2 = 0． 则 = 16m － 12( 2m － 2)
=
2
2
4 3 3
( B) 2 3 3
( C) 3 ( D) 2
8( － m + 3) ＞ 0，解得 － 3 ＜ m ＜ 3 ． ①设 A( x ，y ) ，
2
1
解析: 假定焦点在 x 轴上，点 P 在第一象限，F1 ，F2 2 分别为左、右焦点． 设椭圆的方程为 x+ y= 1( a ＞ b 2 2 a b 2 2 yx＞ 0) ，双曲线的方程为 － = 1( m ＞ 0 ，n ＞ 0) ，它 2 2 m n
B( x ，y ) ，则 x + x
－ 4m ，y + y =
2
1
2
11
2
3
1
= x + x + 2m =
，
2 － 4m
3
+ 2m =
2m
3
，即 AB 的中点为 － (
2m m
3 3
2 ) ． 又因为
们的离心率分别为 e1 ，e2 ，则 | PF1 | = a + m，| PF2 | = a － m，在 PF1 F2 中，4c = ( a + m) + ( a － m) － 2( a
2
2
2
22
AB 的中点不在圆 x + y= 5 /9 内，所以4m+ m= 9 9
2 5m≥ 5 ，解得 m ≤－ 1 或 m ≥1 ②． 由 ①② 得，－ 3
9 9
2
+ m) ( a － m) cos
π 2 a m 22
a+ 3m= 4c ( ) 2 + 3( ) 2 3 c c
＜ m ≤－ 1 或 1 ≤ m ＜ ． 故 m 的取值范围为 ( － 3，－ 1］ ［1，3) ． ［江苏省上冈高级中学 ( 224731) ］
3
m ) 2 ］( 1 + 1 ) ≥ ( a + m ) 2 1 = 4，则［( a ) 2 + 3( c c c 3 c e1
· 30·
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