线性代数知识点典型题

一、方程组

1、设方程组x2x??1?2?0有非零解，则k=（ ）

?2x1?kx2?0A. 2 B. 0 C. 1 D. 4

2、若方程组xx??1?2?0有非零解，则k=（ ）

?kx1?x2?0A. -1 B. 0 C.1

D.2

??aaa3、设A=111213??a11x1?a12x2?a13x3?0???a21a22a23?为3阶非奇异矩阵，则齐次线性方程组??a21x1?a22x2?a23x3?0的解为（ ） ?a31a32a33????a31x1?a32x2?a33x3?0A．?1,1,1?T B．?0,0,0?T C．?a11,a12,a13?T D．(0,1,0)T

?122?4、设矩阵A=??2t3??，若齐次线性方程组Ax=0有非零解，则数t=（ ） ??345???3x1?kx2?x3?05、如果方程组??4x2?x3?0有非零解,则 k=（ ）

??4x2?kx3?0A. -2 B. -1 C. 1 D. 2

6、设A为5阶方阵，若秩（A）=3，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中包含的解向量的个数是（ A．2 B．3 C．4 D．5 7、设A为4×5的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是（ ）

8、设A为5阶的矩阵，且秩（A）=2，则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数是（ ） 9、齐次线性方程组?x?1?3x3?4x4?5x5?0?x?3x的解空间的维数是___________.

2?2x34?x5?0?x?y?z?010、线性方程组??2x?5y?3z?10的解为（ ）

??4x?8y?2z?4A．x=2,y=0,z=-2 B．x=-2,y=2,z=0 C．x=0,y=2,z=-2 D．x=1,y=0,z=-1 11、设非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵为??1002?1??010?1?2?，则该方程组的通解为（ ）?0024?6??12、设?1，?2是Ax=b的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+?1是Ax=0的解

B. η+（?1-?2）是Ax=0的解

） C. ?1+?2是Ax=b的解 D. ?1-?2是Ax=b的解

13、方程组x1?x2?x3?0的通解是___________.

14、设四元非齐次线性方程组AX?b的系数矩阵A的秩为3, 已经它的三个解向量为?1,?2,?3, 其中

?3?????4???,1????2????4????6????8???0????1?2??3，则该方程组的通解为（ ）

?x1?x2?3x3?x4?1,?15、求下列方程组的通解?3x1?x2?3x3?4x4?4,

?x?5x?9x?8x?0.234?1?x1?x2?x3?4x4?3x5?1??x1?x2?3x3?2x4?x5?316、求线性方程组的通解?

2x?x?3x?5x?5x?32345?1?3x?x?5x?6x?7x?52345?1?x1?x2?x3?x4?x5?1??3x1?2x2?x3?x4?3x5?617、求线性方程组?的通解.

x2?2x3?2x4?6x5??3??5x?4x?3x?3x?x?82345?1?x1?x2?x3?x4?0?18、求齐次线性方程组?x1?2x2?4x3?4x4?0的通解.

?2x?3x?5x?5x?0234?1?２x3??1?x1　　?19、已知线性方程组??x1?x2?3x3?2

?2x?x?5x?a23?1（1）求当a为何值时，方程组无解、有解.

（2）当方程组有解时，求出其全部解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

?2x1??x2?x3?1?20、设3元线性方程组??x1?x2?x3?2，

?4x?5x?5x??123?1（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？

（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示） 二、行列式按行（列）展开性质

?13426961478331、设D=215， D中元素aij的代数余子式Aij,则?A41?3A42?9A43?7A44=（ ）

A. 0 B. 3 C. 2 D. 4

364269604128332、设D=

215， D中元素aij的代数余子式Aij,则A41?2A42?3A44=（ ）

A. 0 B. 3 C. 2 D. 4 ?13426961478333、设D=

215， D中元素aij的代数余子式Aij,则A41?2A42?A43?3A44=（ ）

A. 0 B. 3 C. 2

3?513?4201?11?53?3, D. 4

4、设D?1?12 D中元素aij的余子式和代数余子式依次记作Mij和Aij,求（1）

A11?A12?A13?A14； （2）M11?M21?M31?M41 44721235134625、设D=

311， D中元素aij的代数余子式Aij，试求A41?A42与A43?A44.

6、已知4阶行列式D中第1行的元素分别为1，2，0，-1，第3行的元素的余子式依次为5，x，17，1，则

x=__________.

三、向量

1、设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A．

131519125α B．

α C．

α D．

α

2、已知向量α=（3，5，7，9），β=（-1，5，2，0），如果α+ξ=β，则ξ=（ ）

3、设α与β的内积（α，β）=2，‖β‖=2，则内积（2α+β，-β）=___________. 四、秩

?a1??a21、设A为n阶非零矩阵，且A?????a?n????(b1,???b2,?,bn),则r(A)?（ ）

A．n B．1 C．2 2、已知向量?1?(2,3,4,5,),?2?(3,4,5,6),D．n-1

?3?(4,5,6,7),?4?(5,6,7,8)，则向量组?1,?2,?3,?4的秩为（ ）

A．1 B．-1 C．2

D．-2

3、向量?1=（1，0，-2），?2=（3，0，7），?3=（2，0，6）. 则?1,?2,?3的秩为（ ）

?k?4、设矩阵A=?1?1??11k1111k11??1, 若r(A)?1,?1??k?则k?（ ）

5、已知向量组?1?(1,2,?1),?2?(2,0,t),?3?(0,?4,5)的秩为2，则数t=（ ）

?1?6、矩阵A??3?5?1351351??3?的秩= __________. 5??7、求向量组?1?(1,2,?1,1)T,线性无关组.

?2?(2,0,3,0),TT?3?(0,?4,5,?2)，?4?(3,?2,7,?1)的秩与一个极大

T?1??6???1???2?????????8、求向量组α1=?1?，α2=?3?，α3=?2?，α4=?4?的秩与一个极大线性无关组.

?5??6??1??5???????????1???1??1??2?????????1?211????????9、求向量组α1=??，α2=?，α，α的秩与一个极大线性无关组，并把不属于极3=4=??????62?24?????????6???9??7??3?????????大无关组的向量用极大无关组线性表示。 10、求向量组?1?(1,1,4,2),性无关组与秩.

五、特征值与特征向量

21、设3阶方阵A的特征多项式为?E?A?(??2)(??3)，则A=（ ）

T?2?(1,?1,?2,4),T?3?(?3,2,3,?11),T?4)?(1,3,10,0)的一个极大线

TA. -18 B. -6 C. 6

?1?2、设矩阵A=?00?0?12001130D. 18

1?1?，则A的线性无关的特征向量的个数是（ ） 1?3??A．1 B．2 C．3 D．4

3、设?=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一个特征值等于（ ）

A．

14 B．

01012 C．2 D．4

?04、设矩阵A=?0?1?1?0?，则A的特征值为（ ） 0??A．1，1，0 B．-1，1，1 C．1，1，1 D．1，-1，-1

5、设A为3阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为（ ）

?1?6、设矩阵A=?00?0?120011301?1?，则A的线性无关的特征向量的个数是（ ） 1?3??A．1 B．2 C．3

?1?7、已知矩阵A=?0?1?010D．4

1??0?的一个特征值为0，则x= （ ） x??13A?8、已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则 （ ）

9、已知3阶方阵A的特征值为1，2，3，则A3?5A2?7A? （ ）

??2?10、设矩阵A?0???4?1a11??1????0有一个特征值??2，对应的特征向量为x?2，则数a=（ ） ?????2?3???11、已知3阶方阵A的特征值为1，2，3，则2A?1的特征值为 （ ） 12、已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，-1，则|A|= __________.

六、二次型

2221、设二次型f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?2ax2x3正定，则数a的取值应满足（ ）

*

A. a＞9 B. 3≤a≤9 C.-3＜a＜3

?1?2、设矩阵A=?1?0?12?a0D. a≤-3

0??0?为正定矩阵，则a的取值范围是.（ ） 3??2223、已知二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2??x3?2x1x2?4x1x3?6x2x3是正定的，则λ的取值范围是_____.

?t?4、设矩阵?1?0?1200??0?为正定矩阵，则t取值为（ ） t??222?x2?x3,则f(x1,x2,x3)（ ） 5、设有二次型f(x1,x2,x3)?x1A.正定 B.负定 C.不定 D.半正定

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