2009数学竞赛参考答案

学号 ： 姓 名 ： 班 级 ： 密 封 线 出卷老师：骆世广

广东金融学院2009年数学竞赛试题参考答案

题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 总号 分 得 分 一、微积分部分：（共5小题，每小题10分） 1.设f(x)是多项式，且limf(x)?2x3f(x)x??x2?2；lim?3，求f(x)x?0x. 解 由limf(x)?2x3x??x2?2知f(x)?2x3?2x2?ax?b 由limf(x)x?0x?3知limx?0f(x)?f(0)?0．b?0，a?3

所以f(x)?2x3?2x2?3x

2．将长为l的细铁丝剪成三段，分别用来围成圆、正方形和正三角形，问怎样剪法，

才能使它们所围成的面积之和最小？并求出最小值。

设剪成的三段分别为x,y,z，则围成的面积之和为

?x24??y216?3z2S36，且x?y?z?l

这是条件极值问题。作Lagrange函数为

x2 L?4??y216?3z236??(x?y?z?l) ??Lxx?2????0??由??Ly?y8???0

???L?3zz18???0??x?y?z?l得条件驻点M?x0,y0,z0?，其中 xl?0?4?33??, y4l3l0?4?33??, z0?34?33??

由实际问题有解，而驻点唯一，故问题的解在驻点取得。

1

出卷老师：骆世广

所求的最小面积为S(M)?l24(4?33??)

3.设F(x)是f(x)的原函数,，且F(1)?2? ，当x?0时，有4f(x)F(x)?arctxanx(1?x)，试求f(x)。

解答： 由f(x)?F?(x)，知 F?(x)F(x)?arctanxx(1?x)

即 解出

?F(x)dF(x)?2?arctan22x(1?x)xdarctanx

12F(x)?arctan2x?C 2 （x?0）

代入初始条件即得 f(x)?4.设f(x)?a1sinx?a2sin2x?...?ansinnx,其中a1,a2,...,an均为实数，n为

正整数。已知对一切x有f(x)?sinx,试证 a1?2a2?...?nan?1. 证 由于f(x)?a1sinx?a2sin2x?...?ansinnx, 因此

f?(x)?a1cosx?2a2cos2x?...?nancosnx, f?(0)?a1?2a2?...?nan

?f?(0)?limx?0sinxf(x)?f(0)f(x)sinx?lim?lim?lim?1 x?0x?0x?0x?0xxx?a1?2a2?...?nan?1.

?(?1)n1?2x5.将函数f(x)?arctan展开成x的幂级数，并求级数?的和.

2n?11?2xn?0?211?nn2n??2(?1)4x,x?(?,).解:f?(x)?? 又f(0)=, 所?2221?4x4n?0以

f(x)?f(0)??f?(t)dt?0x?4?2?[?(?1)n4nt2n]dt

0n?0x?(?1)n4n2n?111x,x?(?,). =?2?422n?02n?1??2

出卷老师：骆世广

(?1)n1因为级数?收敛，函数f(x)在x?处连续，所以

2n?02n?1?(?1)n4n2n?111x,x?(?,]. f(x)??2?422n?02n?1???1?(?1)4n1??(?1)n1?2n?1]???令x?，得f()??2?[,

242n?142n?122n?0n?0?(?1)n?1?1??f()?. 再由f()?0，得 ?4242n?02n?1二、线性代数部分：（共3小题，每小题10分）

11?1??11??16.求n阶行列式Dn=????，展开后的正项总数。

11??111?11c1?c20200??001解：Dn????122?0=2n–1，设Dn展开式中正、负项总数分别为

c1?c3??c1?cn?????122?2x1, x2，则

x1+x2=n!，x1–x2=2n–1，于是正项总数为x1=(2n?1?n!)。

7.已知３阶方阵A的特征值为１，－１，２，求B?A3?5A2的特征值及相似对角阵．

解：设A????(??0)，则A2???2?，A3???3?，

B??(A3?5A2)??(?3?5?2)?，令??-1,1,2得B的特征值为：

12-6.-4.-12。

??6????4所以B相似于 ????． ??12??? 8.λ为何值时，线性方程组

λx1 + x2 + x3 = λ?3

x1 +λx2 + x3 = ?2

3

出卷老师：骆世广

x1 + x2 +λx3 = ?2

有唯一解, 无解和有无穷多解? 当方程组有无穷多解时求其通解.

???解：?1?1?111??3??1??1???2???1??2????1?11?1?2???2? ??3??1??1???0??11???01??1??2??2??11??2????0???0??11??0?………4

?3??3?0(1??)(??2)3??3???0?分

当??1且???2时，r(A)=r(Ab)=3,方程组有唯一解；

???2时,r(A)?r(Ab)方程无解；??1时,r(A)?r(Ab)?1方程组有唯一解有无穷多解，此时…………………………7分

?111?2??? (Ab)??0000?

?0000???方程组的等价方程组为 x1?x2?x3??2 其通解为

??2???1???1??????? ???0??c1?1??c2?0?

?0??0??1???????其中

c1,c2为任意常

数。…………………………………………………………10分

三、概率论与数理统计部分（共3小题，每小题10分） 9．设有随机变量U和V，它们都仅取1，?1两个值．已知 P{U?1}?1/2,

P{V?1|U?1}?1/3?P{V??1|U??1}. (1)求U和V的联合分布密度.

(2)求x的方程x2?Ux?V?0至少有一个实根的概率.

(3)求x的方程x2?(U?V)x??U?V?0至少有一个实根的概率. 解 (1)P{U?1,V?1}?P{V?1|U?1}P{U?1}?(1/3)(1/2)?1/6.

4

出卷老师：骆世广

P{U??1,V??1}?P{V??1|U??1}P{U??1}

?(1/3)?[1?P{U?1}]?(1/3)(1/2)?1/6.

P{U?1,V??1}?P{V??1|U?1}P{U?1}

?[1?P{V?1|U?1}]P{U?1}?(2/3)(1/2)?1/3.

P{U??1,V?1}?P{V?1|U??1}?P{U??1}

?[1?P{V??1|U??1}]P{U??1}?(2/3)?(1/2)?1/3.

U,V的联合分布密度为

U V -1 1 -1 1/6 2/6 1 2/6 1/6 (2) 方程x2?Ux?V?0当且仅当在??U2?4V?0时至少有一实根,因而所求的概率为

P{??0}?P{U2?4V?0}?P{V??1}?1/2. (3)

方

程

x2?(U?V)x??U?V?0当且仅当在

??(U?V)2?4(U?V)?0时至少有一实根,因而所求的概率为

P{??0}?P{U??1,V??1}?P{U??1,V?1}?P{U?1,V??1}?5/6.

10.据预测，假设国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X服从[2000,4000] （单位：吨）上的均匀分布。每销售一吨，可赚外汇3万元；而销售不出，每吨需库存费1万元。问应组织多少货源，才能使收益最大？

解： 设应组织货源吨，显然2000?t?4000 -------------------------1分

则收益为

X?t?3t,---------------------------3分 Y?g(X)??4X?t,X?t?t因为X的密度为

5

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