四川省2007 - 2011数学文科高考真题

2012-5-12 四川省2007—2011数学高考文科汇编

绝密★启用前

2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数 学(文史类)

本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第1部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案打在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球是表面积公式

P(A?B)?P(A)?P(B) S?4?R2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径

P(A?B)?P(A)?P(B) 球的体积公式

4 V??R3

3n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径 如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么

kkPn(k)?CnP(1?P)n?k

第一部分（选择题 共60分）

1．选择题必须使用2B铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上．

2．本大题共12小题，每小题5分，共60分．

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目的要求的．

1．若全集M?{1,2,3,4,5}，N?{2,4}，则eMN?

（A）? （B）{1,3,5} （C）{2,4} 答案：B

解析：∵M?{1,2,3,4,5}，则eMN?{1,3,5}，选B．

（D）{1,2,3,4,5}

2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3 根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占

2112（A） （B） （C） （D）

23113答案：B

221解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占?，选B．

6633．圆x2?y2?4x?6y?0的圆心坐标是

（A）(2，3) 答案：D

（B）(－2，3) （C）(－2，－3) （D）(2，－3)

1

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解析：圆方程化为(x?2)2?(y?3)2?13，圆心(2，－3)，选D．

14．函数y?()x?1的图象关于直线y=x对称的图象像大致是

2

答案：A

1解析：y?()x?1图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点(2,0)且单调递减，

2选A．

5．“x＝3”是“x2＝9”的

（A）充分而不必要的条件 （C）充要条件 答案：A

解析：若x＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则x??3，选A． 6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是

（A）l1?l2，l2?l3?l1//l3

（B）l1?l2，l2//l3?l1?l3

（D）l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面

（B）必要而不充分的条件 （D）既不充分也不必要的条件

（C）l2//l3//l3?l1，l2，l3共面

答案：B

解析：由l1?l2，l2//l3，根据异面直线所成角知l1与l3所成角为90°，选B．

????????????BA?CD?EF? 7．如图，正六边形ABCDEF中，

????（A）0 （B）BE

????????（C）AD （D）CF

答案：D

????????????????????????????解析：BA?CD?EF?CD?DE?EF?CF，选D．

8．在△ABC中，sin2A?sin2B?sin2C?sinBsinC，则A的取值范围是

（A）(0,]

6

答案：C

2?

（B）[,?)

622?

（C）(0,]

3

222?

（D）[,?)

3?b2?c2?a21解析：由sinA?sinB?sinC?sinBsinC得a?b?c?bc，即?，

2bc21?∴cosA?，∵0?A??，故0?A?，选C．

329．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1 =3Sn（n ≥1），则a6=

（A）3 × 44

（B）3 × 44+1

（C）44

2

（D）44+1

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答案：A

解析：由an+1 =3Sn，得an =3Sn－1（n ≥ 2），相减得an+1－an =3(Sn－Sn－1)= 3an，则an+1=4an（n ≥ 2），a1=1，a2=3，则a6= a2·44=3×44，选A．

10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为 （A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元 答案：C

54x053?y，由题意，解析：设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），u?0?x?y?12,?2x?y?19,??x?y?12,?u?450x?350y?50(9x?7y)在由?x、y满足关系式?10x?6y?72,作出相应的平面区域，确

?2x?y?19?0?x?8,???0?y?7,定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C．

11．在抛物线y?x2?ax?5(a?0)上取横坐标为x1??4，x2?2的两点，过这两点引一条割线，有平行于

该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2?5y2?36相切，则抛物线顶点的坐标为

（A）(?2,?9) （B）(0,?5) （C）(2,?9) （D）(1,?6) 答案：A

a)、B(2,2a?1)，则kAB?a?2，由解析：令抛物线上横坐标为x1??4、x2?2的点为A(?4,11?4y??2x?a?a?2，故切点为(?1,?4?a)，切线方程为(a?2)x?y?6?0，该直线又和圆相切，则

66d??，解得a?4或a?0（舍去），则抛物线为y?x2?4x?5?(x?2)2?9，定点坐

5(a?2)2?1标为(?2,?9)，选A．

12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量??(a,b)，从所有得到的

以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其

m中面积等于2的平行四边形的个数为m，则?

n2141（A） （B） （C） （D）

151553答案：B

(4,3)、解析：∵以原点为起点的向量??(a,b)有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、

2(4,5)共6个，可作平行四边形的个数n?C6?15个，结合图形进行计中由(2,1)(4,1)、(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2，

算，其共有3

个，则

m31??，选B． n155 3

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第二部分（非选择题 共90分）

注意事项：

1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．

2．本部分共10小题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13．(x?1)9的展开式中x3的系数是_________．（用数字作答）

答案：84

63解析：∵(x?1)9的展开式中x3的系数是C9?C9?84．

x2y214．双曲线??1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么P到左准线的距离是____．

6436答案：16 答案：16

54516解析：离心率e?，设P到右准线的距离是d，则?，则d?，则P到

4d452?6416左准线的距离等于??16．

10515．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积

与该圆柱的侧面积之差是_________． 答案：32π

解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积S?2??4sin??2?4cos?＝

时，S取最大值32?，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32?． 416．函数f(x)的定义域为A，若x1,x2?A且f(x1)?f(x2)时总有x1?x2，则称f(x)为单函数．例如，函数

f(x)=2x+1(x?R)是单函数．下列命题：

①函数f(x)?x2（x?R）是单函数；

②指数函数f(x)?2x（x?R）是单函数；

③若f(x)为单函数，x1,x2?A且x1?x2，则f(x1)?f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④

解析：对于①，若f(x1)?f(x2)，则x1??x2，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分）

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有

1甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、

4111；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时． 224

4

32?sin2?，当???2012-5-12 四川省2007—2011数学高考文科汇编

（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率．

本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力． 解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则

111111P(A)?1???，P(A)?1???．

42424411答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、．

44（Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则

1111111111113P(C)?(?)?(???)?(?????)?．

42442224424443答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为

418．（本小题共l2分）

7?3?已知函数f(x)?sin(x?)?cos(x?)，x?R．

44（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最小值；

44?（Ⅱ）已知cos(???)?，cos(???)??，0?????．求证：[f(?)]2?2?0．

552本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．

7?7?3?3?（Ⅰ）解析：f(x)?sinxcos ?cosxsin?cosxcos?sinxsin4444?2sinx?2cosx?2sin(x?)，∴f(x)的最小正周期T?2?，最小值f(x)min??2． 444（Ⅱ）证明：由已知得cos?cos??sin?sin??，cos?cos??sin?sin???

55?两式相加得2cos?cos??0，∵0?????∴[f(?)]2?2?4sin2?2，∴cos??0，则???2．

?4?2?0．

19．（本小题共l2分）

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．

（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；

本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力． 解法一： （Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD， ∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O， ∴OD∥PB1，又OD?面BDA1，PB1?面BDA1， ∴PB1∥平面BDA1． （Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A， ∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1． ∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．

15在Rt△A1C1D中，A1D?()2?12?，

22

5

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