两类曲面积分的关系及其应用
学生姓名：陶其亮
学号：20111054126
所在院系：数学与统计学院
专业：数学与应用数学
指导教师：李艳梅老师
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目录
摘要 ........................................................................ 3 关键词 ...................................................................... 3 ABSTRACT .................................................................... 3 KEY WORDS ................................................................... 3 前言 ........................................................................ 4 1．预备知识 .................................................................. 4 1.1 两类曲面积分的定义与相关性质 ........................................... 4 （1）第一型曲面积分的定义 ................................................ 4 （2）第二型曲面积分的定义 ................................................ 4
（3）两类曲面积分的相关性质 .............................................. 5 1.2 两类曲面积分的关系 ..................................................... 5 2．两类曲面积分关系的应用 .................................................... 5 2.1将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分 ............................... 5 2.2将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分 .............................. 10 3.小结 ..................................................................... 12 参考文献.................................................................... 11 致谢 ....................................................................... 12
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两类曲面积分的关系及其应用
摘要：本文讨论了两类曲面积分的关系并给出了其应用.
关键词：曲面，侧，第一型曲面积分，第二型曲面积分
The relationship between the two kinds of surface integrals
and its application
Abstract：In this paper, the relationship between the two kinds of surface integrals are
discussed and the applications are given.
Key words：The curved surface; side; the first type of surface integral; the second type of
surface integral
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0. 前言
在数学分析中第二型曲面积分的计算是一个重点也是一个难点问题.若空间区域V是由分片光滑的双侧封闭曲面S所围成，函数P,Q,R在V上具有一阶的连续偏导数，则可以利用高斯公式计算第二型曲面积分.若曲面S在xoy面上的投影为一条线，且被积函数
[2]
[1]
P,Q,R及它们的一阶偏导数不连续的情况下，则通常用直接投影法来处理[3].当曲面的方程
由参数形式给出时，可以用参数形式计算为第二型曲线积分来计算
[5～6]
[4-7]
.当然第二型曲面积分还可以利用 stokes公式化
.如果在上述方法都无法解决的情况下，我们可以考虑利用两类
[8]
曲面积分之间的关系计算第二型曲面积分.下面将探讨两类曲面积分的关系以及这种关系的应用.
1．预备知识
1.1 两类曲面积分的定义与相关性质
（1）第一型曲面积分的定义
定义1 设S是空间中可求面积的曲面，f?x,y,z?为定义在S上的函数.对曲面S作
[9]
分割T，它把S分成n个小曲面块Si?i?1,2,?,n?，以?Si记小曲面块Si的面积，分割T的细度T?max{Si的直径}.在Si上任取一点??i,?i,?i??i?1,2,?,n?，若极限 1?i?nlim?f??i,?i,?i??Si T?0i?1n存在，且与分割T及??i,?i,?i??i?1,2,?,n?的取法无关，则称此极限为f?x,y,z?在S上的第一型曲面积分，记作
??f?x,y,z?dS.
S（2）第二型曲面积分的定义
定义2 设P,Q,R为定义在双侧曲面S上的函数.在S所指定的一侧作分割T，它把
[9]
S分为n个小曲面S1,S2,?,Sn，分割T的细度T?max{Si的直径}，以?Siyz,?Sizx,?Sixy1?i?n分别表示Si在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由Si的方向来确定.若Si的法线正向与z轴正向成锐角时，Si在xy平面的投影区域的面积?Si为正.反之，若Si法线正向
xy与z轴正向成钝角时，它在xy平面的投影区域的面积?Si为负.在各个小曲面Si上任取一
xy 4
点??i,?i,?i?.若
lim?P??i,?i,?i??Siyz?lim?Q??i,?i,?i??Sizx?lim?R??i,?i,?i??Sixy T?0i?1T?0i?1T?0i?1nnn存在，且与曲面S的分割T和??i,?i,?i?在Si上的取法无关，则称此极限为函数P,Q,R在曲面S所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作
??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy.
S（3）曲面积分的相关性质
(ⅰ)若积分曲面S关于x,y,z具有轮换对称性，则
??f?x,y,z?dydz???f?y,z,x?dzdx???f?z,x,y?dxdy.
SSS(ⅱ)
[9]
设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成.若函数P，Q,R在V上连
续，且有一阶连续偏导数，则
??P?Q?R?????dxdydz ????x?y?z?V?=
其中S取外侧.
???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy，
S1.2 曲面积分的关系
定理1：设曲面S为光滑曲面，正侧的法向量为?cos?,cos?,cos??，P?x,y,z?，
[9]
Q?x,y,z?，R?x,y,z?在S上连续，则有
??P?x,y,z?dydz?Q?x,y,z?dzdx?R?x,y,z?dxdy
S=
??(P?x,y,z?cos??Q?x,y,z?cos??R?x,y,z?cos?)dS.
S推论 设光滑曲面S的方程为F?x,y,z??0，而P?x,y,z?，Q?x,y,z?，R?x,y,z?在
S上连续，则
??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
S?FyFxFz??Q?R=??P222222222?F?F?FF?F?FF?F?FSxyzxyzxyz?[9]
??dS. ??定理 2：设P,Q,R是定义在光滑曲面S：z?z?x,y?，?x,y??D上的连续函数，
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