参数估计和假设检验习题解答

参数估计和假设检验习题

1.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差σ已知为150，今抽了一个容量为26的样本，计算得平均值为1637。问在5％的显著水平下，能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600?

解: H0:??1600, H1:??1600,标准差σ已知,拒绝域为Z?z?,取??0.05,n?26,

2z??z0.025?z0.975?1.96,由检验统计量

2Z?x??1637?1600??1.25?1.96,接受H0:??1600,

?/n150/26即,以95%的把握认为这批产品的指标的期望值μ为1600.

2.某纺织厂在正常的运转条件下，平均每台布机每小时经纱断头数为O.973根，各台布机断头数的标准差为O.162根，该厂进行工艺改进，减少经纱上浆率，在200台布机上进行试验，结果平均每台每小时经纱断头数为O.994根，标准差为0.16根。问,新工艺上浆率能否推广(α=0.05)?

解: H0:?1??2, H1:?1??2,

3.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64Ω，改变加工工艺后，测得100个零件的平均电阻为2.62Ω，如改变工艺前后电阻的标准差保持在O.06Ω，问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=0.05)?

解: H0:??2.64, H1:??2.64,已知标准差σ=0.16,拒绝域为Z?z?,取??0.05,z??z0.025?1.96,

22n?100,由检验统计量Z?x??2.62?2.64??3.33?1.96,接受H1:??2.64,

?/n0.06/100即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响.

4.有一批产品，取50个样品，其中含有4个次品。在这样情况下，判断假设H0：p≤0.05是否成立(α=0.05)?

解: H0:p?0.05, H1:p?0.05,采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z?z?,??0.05,z0.95?1.65,

n?50,由检验统计量Z?x/n?p4/50?0.05??0.9733<1.65,接受H0：p≤0.05.

p?(1?p)/n0.05?0.95/50即, 以95%的把握认为p≤0.05是成立的.

5.某产品的次品率为O.17，现对此产品进行新工艺试验，从中抽取4O0件检验，发现有次品56件，能否认为此项新工艺提高了产品的质量(α=0.05)?

解: H0:p?0.17, H1:p?0.17,采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z??z?,n?400,

??0.05,?z0.95??1.65,由检验统计量

Z??x?npii?1400n?p?(1?p)?56?400?0.17??1.5973>-1.65, 接受H0:p?0.17,

400?0.17?0.83即, 以95%的把握认为此项新工艺没有显著地提高产品的质量.

6.从某种试验物中取出24个样品，测量其发热量，计算得x=11958，样本标准差s=323，问以5％的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100(假定发热量是服从正态分布的)?

解: H0:??12100, H1:??12100,总体标准差σ未知,拒绝域为t?t?(n?1),n?24, x=11958,

2s=323,??0.05,t0.025(23)?2.0687, 由检验统计量

t?x??11958?12100??2.1537>2.0687,拒绝H0:??12100,接受H1:??12100, s/n323/24即, 以95%的把握认为试验物的发热量的期望值不是12100.

7．某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500克，每隔一定时间需要检查机器工作情况。现抽得10罐，测得其重量为(单位：克):195，510，505，498，503，492，ii02，612，407，506.假定重量服从正态分布，试问以95％的显著性检验机器工作是否正常?

解: H0:??500 vs H1:??500,总体标准差σ未知,拒绝域为t?t?(n?1),n?10,经计算得到

2x=502, s=6.4979,取??0.05,t0.025(9)?2.2622,由检验统计量

t?x??502?500??0.9733<2.2622, 接受H0:??500 s/n6.4979/10即, 以95%的把握认为机器工作是正常的.

8.有一种新安眠药，据说在一定剂量下，能比某种旧安眠药平均增加睡眠时间3小时，根据资料用某种旧安眠药时，平均睡眠时间为20.8小时。标准差为1.6小时，为了检验这个说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为26.7，22.O，24.1，21.O，27 .2，25.0，23.4。试问：从这组数据能否说明新安眠药已达到新的疗效(假定睡眠时间服从正态分布，α=0.05)。

解: H0:??23.8 vs H1:??23.8,已知总体标准差σ =1.6,拒绝域为Z??z?,n?7,经计算得到

x=24.2,取??0.05,?z0.95??1.65,由检验统计量

Z?x?23.824.2?23.8??0.6614>-1.65, 接受H0:??23.8

?/n1.6/7即, 以95%的把握认为新安眠药已达到新的疗效.

9．测定某种溶液中的水份，它的l0个测定值给出x=0.452%,s=O.037%，设测定值总体服从正

态分布,?为总体均值,?为总体的标准差,试在5％显著水平下,分别检验假(1)H0: ?=O.5％; (2)H0: ?=O.04％。

解:(1)H01: ?=O.5％,H11:??0.5%, 总体标准差σ未知,拒绝域为t?t?(n?1),n?10,

2x=0.452%,s=O.037%,取??0.05,t0.025(9)?2.2622,由检验统计量

t?x??0.00452?0.005??4.102>2.2622,拒绝H0: ?=O.5％, s/n0.00037/101?222 (2) H02:?=0.04%, H12:?≠0.04%,拒绝域为?2??2?(n?1) 或 ?2???(n?1),n?10,取α=0.05,

?20.975(9) =2.7 , ???220.025(9)?19.023,由检验统计量??22(n?1)s2?2(10?1)0.000372??7.7006, 20.0004 即2.7???7.7006?19.023,接受H02:?=0.04%.

10.有甲、乙两个试验员，对同样的试样进行分析，各人试验分析结果见下表(分析结果服从正态分布), 试问甲、乙两试验员试验分析结果之间有无显著性的差异(α=0.05)? 试验号码 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 4.3 3.2 3.8 3.5 3.5 4.8 3.3 3.9 乙 3.7 4.1 3.8 3.8 4.6 3.9 2.8 4.4 22 解:(1)H01:?12??2, H11:?12??2,拒绝域为F?F1??2(n1?1,n2?1) 或 F?F?(n1?1,n2?1),n1?n2?8,2取α=0.05, F0.975(7,7)?12?0.2004 , F0.025(7,7)?4.99,经计算s12?0.2927,s2?0.2927,

F0.025(7,7)222由检验统计量F?s1/s2?0.2927/0.2927?1, 接受H01:?12??2,

(2) H02:?1??2, H12:?1??2拒绝域为t?t?(n1?n2?2),n1?n2?8,

22(n1?1)?s12?(n2?1)?s2并样本得到s?=0.2927, sw=0.5410, 由检验统计量

n1?n2?22w??0.05,t0.025(14)?2.1448,

t?x?ysw11?n1n2?3.7875?3.8875sw11?n1n2?-0.6833<2.1448, 接受H02:?1??2,

即, 以95%的把握认为甲、乙两试验员试验分析结果之间无显著性的差异.

11.为确定肥料的效果，取1000株植物做试验。在没有施肥的100株植物中，有53株长势良好；在已施肥的900株中，则有783株长势良好，问施肥的效果是否显著(α=O.01)?

22解:(1)H01:?12??2, H11:?12??2,拒绝域为F?F1??2(n1?1,n2?1) 或 F?F?(n1?1,n2?1),取α=0.01,

2n1?100,n2?900,F0.995(99,899)?s12?1?0.7843 , F0.005(99,899)?1.3,计算

F0.005(899,99)53537837832?(1?)?0.2491,s2??(1?)?0.1131, 100100900900222由检验统计量 F?s1/s2?0.2491/0.1131?2.2025, 拒绝H01:?12??2,

(2) H02:?1??2, H12:?1??2拒绝域为t?t?(n1?n2?2),n1?100,n2?900,??0.01,t0.01(?)?2.4121

2(n1?1)?s12?(n2?1)?s2并样本得到s?=0.1266, sw=0.3558, 由检验统计量

n1?n2?22w t?x?y53/100?783/900?? -9.0656<2.4121, 接受H02:?1??2,

1111sw?0.3558?n1n2100900 即, 以95%的把握认为施肥的效果有显著性的差异. (备注: F0.005(99,899)=1.43+(1.43-1.69)*0.5=1.3, F0.025(899,99)=1.36+(1.36-1.53)*0.5=1.275)

12.在十块地上同时试种甲、乙两种品种作物，设每种作物的产量服从正态分布，并计算得

x=30.97,y=21.79,sx=26.7,sy=12.1。这两种品种的产量有无显著差别(α=O.01)?

22解:(1)H01:?12??2, H11:?12??2,拒绝域为F?F1??2(n1?1,n2?1) 或 F?F?(n1?1,n2?1),n1?n2?10,2取α=0.01, F0.995(9,9)?122?0.1529 , F0.005(9,9)?6.54,有题设sx?712.89,sy?146.41,

F0.005(9,9)222由检验统计量F?s1/s2?712.89/146.41?4.8691, 接受H01:?12??2,

(2) H02:?1??2, H12:?1??2,拒绝域为t??t?(n1?n2?2),??0.01,t0.01(18)??2.5524,n1?n2?10,

2(n1?1)?s12?(n2?1)?s2并样本得到s?=(9×712.89+9×146.41)/18=429.6500, sw=20.7280, 由检验统计量

n1?n2?22w t?x?y30.97?21.79??0.9903>-2.5524, 接受H02:?1??2,

1111sw?20.7280??n1n21010 即, 以95%的把握认为此两品种作物产量有显著差别,并且是第一种作物的产量显著高于第

二种作物的产量.

13.从甲、乙两店备买同样重量的豆，在甲店买了10次，算得y=116.1颗，?(yi?y)2=1442；

i?110在乙店买了13次，计算x=118颗，?(xi?x)2=2825。如取α=0.01，问是否可以认为甲、乙两店的

i?113豆是同一种类型的(即同类型的豆的平均颗数应该一样)？

22解:(1)H01:?12??2, H11:?12??2,拒绝域为F?F1??2(n1?1,n2?1) 或 F?F?(n1?1,n2?1),n1?10,

2n2?13,取α=0.01, F0.005(12,9)?5.20,F0.995(12,9)?12?0.1605 ,,有题设sx?235.25,

F0.005(9,12)2222sy?160.2222,由检验统计量F?sx/sy?235.25/160.2222?1.4683, 接受H01:?12??2,

(2) H02:?1??2, H12:?1??2,拒绝域为t?t?(n1?n2?2),??0.01,t0.005(11)?3.1058,n1?10,

22(n1?1)?s12?(n2?1)?s2=(2823+1442)/11=387.7273, sw=19.6908, 由检验统计量 n2?13,并样本得到s?n1?n2?22w t?x?y118?116.1??0.2294<3.1058, 接受H02:?1??2,

1111sw?19.6908??n1n21310 即, 以95%的把握认为此甲、乙两店的豆是同一种类型的.

14.有甲、乙两台机床加工同样产品，从此两台机床加工的产品中随机抽取若干产品，测得产品直径(单位：Illm)为机床甲：20.5，19.8，19.7，20.4，20.1，20.0，19.0，19.9; 机床乙：19.7，20.8，20.5，19.8，19.4，20.6，19.2.试比较甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异（α=5％)?

22解:(1)H01:?12??2, H11:?12??2,拒绝域为F?F1??2(n1?1,n2?1) 或 F?F?(n1?1,n2?1),n1?8,n2?7,

2取α=0.05, F0.975(8,7)?12?0.2041 , F0.025(8,7)?4.53,经计算s12?0.2164,s2?0.3967,

F0.025(7,8)222由检验统计量 F?s1/s2?0.2164/0.3967?0.5455, 接受H01:?12??2,

(2) H02:?1??2, H12:?1??2拒绝域为t?t?(n1?n2?2), n1?8,n2?7,??0.05,t0.025(13)?2.1604,

22(n1?1)?s12?(n2?1)?s27?0.2164?6?0.3967并样本得到s???0.2996 sw=0.5474, 由检验统计量

n1?n2?2132w t?x?ysw11?n1n2?19.9250?20.00000.547411?87?-0.2657<2.1604, 接受H02:?1??2,

即, 以95%的把握认为甲、乙两台机床加工的精度结果之间无显著性的差异.

15．某工厂所生产的某种细纱支数的标准差为1.2，现从某日生产的一批产品中，随机抽16缕进行支数测量，求得样本标准差为2.1，问纱的均匀度是否变劣?

2解:H0:??1.2, H1:??1.2, 拒绝域为?2??2?(n?1) 或 ?2???(n?1),n?16,取α=0.05,

1?22?20.975(15) = 0.0364 , ???220.025(15)?27.4884,由检验统计量??2(n?1)s2?2(16?1)2.12??45.9375,

1.22 即?2?45.9375?27.4884, 拒绝H0:?=1.2

即, 以95%的把握认为生产的纱的均匀度是变劣了。

16．从一批钉子中抽取16枚，测得其长度为(单位：m):2.14,2.10,2.13,2.15,2.13,2.12, 2.13,2.10,2.15,2.12,2.14,2.10,2.13,2.11,2.14,2.11.设钉长分布为正态，试在下列情况下求总体期望值?的90％置信区间： (1)已知?=0.Ol(cm)；(2) ?为未知。

解:

>> y1=[2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11] >>mean(y1),得到点估计 y1?0.1250, n=16 (1) 已知?=0.Ol,样本统计量x??~N(0,1),取??0.1,z??z0.95?1.65 ?/n222包含总体期望值?的90％置信区间为(x?z??/n,x?z??/n)

(2) ?为未知, 样本统计量x??~t(n?1),取??0.1,t?(n?1)?t0.05(15)?1.7531 s/n2包含总体期望值?的90％置信区间为(x?t0.05(15)?s/n,x?t0.05(15)?s/n)

17.包糖机某日开工包了12包糖，称得的重量(单位：两)分别为10.1，10.3，10.4，10.5，10.2，

9.7，9.8，10.1，10.0，9.9, 9.8,10.3，假设重量服从正态分布，试由此数据对糖包的平均重量作置信度为95%的区间估计。

解:

>>x10=[10.1 10.3 10.4 10.5 10.2 9.7 9.8 10.1 10.0 9.9 9.8 10.3] >> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x10,0.05)

得到平均重量点估计 mu = 10.0917, 置信区间为 muci =[9.9281,10.2553],

sigma = 0.2575, 置信区间为 sigmaci =[0.1824,0.4371]

18.某电子产品的某一参数服从正态分布，从某天生产的产品中抽取15只产品，测得该参数为3.0,2.7,2.9,2.8,3.1,2.6,2.5,2.8,2.4,2.9,2.7,2.6,3.2,3.0,2.8。试对该参数的期望值和方差作置信度分别为95%和99％的区间估计。

解:

>> x12=[3.0 2.7 2.9 2.8 3.1 2.6 2.5 2.8 2.4 2.9 2.7 2.6 3.2 3.0 2.8] 取定?=0.05,

>> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12,0.05)

得到参数的期望值点估计mu =2.8000, 95%置信区间为muci =[2.6762, 2.9238]; 方差点估计sigma =0.2236, 95%置信区间为sigmaci=[0.1637, 0.3527] 取定?=0.05,

>> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12,0.01)

得到参数的期望值点估计mu=2.8000, 99%置信区间为muci=[2.6281,2.9719]

方差点估计sigma =0.2236, 99%置信区间为sigmaci=[0.1495,0.4145]

19.为了在正常条件下，检验一种杂交作物的两种新处理方案，在同一地区随机挑选8块地段，在各个试验地段，按两种方案种植作物，这8块地段的单位面积产量是 一号方案产量 86 87 56 93 84 93 75 79 二号方案产量 80 79 58 91 77 82 74 66 假设这两种产量都服从正态分布，试求这两个平均产量之差的置信度为95％的置信区间。 解：

>> x=[86 87 56 93 84 93 75 79],>> mean(x) 得到x?81.6250

>> y=[80 79 58 91 77 82 74 66],>> mean(y) 得到y?75.8750

2(n1?1)?s12?(n2?1)?s2，得到sw, n1?n2?8, 计算s?n1?n2?22w取定?=0.05, 由样本统计量 t?x?ysw11?n1n2?t?(n1?n2?2)

2最后，得到?x??y的置信水平为95%的一个置信区间为

(x?y?t?(n1?n2?2)?sw21111?,x?y?t?(n1?n2?2)?sw?) n1n2nn21220.设两位化验员A、B独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测定值

22的方差s2依次为0.5419和0.6065，设?A和?B分别是A、B两化验员测量数据总体的方差，且总体服22从正态分布，求方差比?A/?B的置信度为90％的置信区间。

22解:n1?n2?10,sA?0.5419,sB?0.6065,取α=0.1,F0.05(9,9)?3.18， F0.95(9,9)?1?0.3145 ,

F0.05(9,9)22方差比?A/?B的置信度为90％的置信区间为

22sAsA11(2,2) sBF?2(n1?1,n2?1)sBF1??2(n1?1,n2?1)

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