大学物理（二）答案[1]

大学物理（二）练习册 参考解答

第12章 真空中的静电场

一、选择题

1(A)，2(C)，3(C)，4(A)，5(C)，6(B)，7(C)，8(D)，9(D)，10(B)， 二、填空题

(1). 电场强度和电势，E?F/q0，Ua?W/q0?(2). ?q2?q4?/?0， q1、q2、q3、q4 ；

(3). 0，? / (2?0) ； (4). ?R / (2?0) ； (5). 0 ； (6).

???0a??E?dl(U0=0).

q4??0?11???r?r?? ；

0??q0q?11?? ????4??0?rarb???(9). 0，pE sin? ； (10). ??8?24xy?i???12x2?40y?j (SI) ；

(7). －23103 V； (8).

三、计算题

∞

1. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为?，四分之一圆弧AB的半径为R，试求圆心O点的场强． O A

B

解：在O点建立坐标系如图所示． 半无限长直线A∞在O点产生的场强： ? E1?∞

?????i?j?

4??0R∞y半无限长直线B∞在O点产生的场强： ?E2???????i?j?

4??0R????i?j?

4??0RA四分之一圆弧段在O点产生的场强：

?E2OB??E3??E3?E1x∞由场强叠加原理，O点合场强为：

???? ?E?E1?E2?E3?

?4??0R???i?j?

1

2. 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电场强度E垂直于地面向下，大小约为100 N/C；在离地面1.5 km高的地方，E也是垂直于地面向下的，大小约为25 N/C． (1) 假设地面上各处E都是垂直于地面向下，试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度；

(2) 假设地表面内电场强度为零，且地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度．(已知：真空介电常量?0＝8.85310-12 C22N-12m-2) ??? 解：(1) 设电荷的平均体密度为?，取圆柱形高斯面如图(1)(侧面垂直底面，底面?S平行地面)上下底面处的 场强分别为E

E1 1和E2，则通过高斯面的电场强度通量为： ??E?2dS?＝E2?S-E1?S＝(E2-E1) ?S

高斯面S包围的电荷∑qi＝h?S?

由高斯定理(E2－E1) ?S＝h?S??/? 0

∴

h S ??1h?0?E2?E1 ?＝4.43310-13 C/m3

?S E2 (2) 设地面面电荷密度为?．由于电荷只分布在地表面，所以电力

线终止于地面，取高斯面如图(2) (1) 由高斯定理 ??E?2dS?=

1?qi

E0? -E?S=

1???S

0∴ ? =－? 0 E＝－8.9310-10 C/m3 (2) y

3. 带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为?=?0sin?，R 式中?0为一常数，?为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试??求环心O处的电场强度． O x

解：在?处取电荷元，其电荷为dq =?dl = ?0Rsin??d? 它在O点产生的场强为dE?dq?0sin?d?4??R2? 04??0R在x、y轴上的二个分量

y dEx=－dEcos?，?? dEy=－dEsin? 对各分量分别求和

R dq E?0?dEx ? x?4??sin?cos?d?＝0

??d0R?0 ??O x E?0?2?0y?4???0sin?d??? dE dEy 0R8?0R∴ E??E?i?E??0?xyj??8?j

0R

2

z 4. 一“无限长”圆柱面，其电荷面密度为： ??= ?0cos ???，式中??为半径R与x轴所夹的角，

试求圆柱轴线上一点的场强．

解：将柱面分成许多与轴线平行的细长条，每条可视为“无限长”均匀带电直线，其电荷线密度为

? = ?0cos? Rd?， 它在O点产生的场强为： dE?O x ??R y

???0cos?d? 2??02??0R它沿x、y轴上的二个分量为：

?0 dEx=－dEcos? =?cos2?d?

2??0?0sin?cos?d? dEy=－dEsin? =

2??02???0积分：Ex???cos2?d?＝0

02??2?002??0Ey???sin?d(sin?)?0

02??0∴ E?Exi??dE dEy dEx O y R d? ??x

???0?i 2?0

5. 一半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为

??qr (r≤R) (q为一正的常量) πR4 ??= 0 (r>R)

试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度；(3) 球内、外各点的电势．

解：(1) 在球内取半径为r、厚为dr的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 dq = ?dV = qr 4?r2dr/(?R4) = 4qr3dr/R4 则球体所带的总电荷为 Q??V?dV??4q/R4??rr03dr?q

(2) 在球内作一半径为r1的高斯球面，按高斯定理有

4?rE1?211?0?r104qrqr21 ?4?rdr?44?R?0R2?qr1得 E1? (r1≤R)，E1方向沿半径向外．

4??0R4 在球体外作半径为r2的高斯球面，按高斯定理有 4?r22E2?q/?0? 得 E2?q4??0r22 (r2 >R)，E2方向沿半径向外．

? (3) 球内电势

3

U1??Rr1?R?????E1?dr??E2?dr?R?qr2qdr?dr ?r14??R4R4??r20033?qrrq11? ??? ?r1?R? ??4?43??3??0R12??0R12??0R?R?q 球外电势 U2??Rr2???E2?dr??r2q4??0r2dr?q ?r2?R?

4??0r2

6. 如图所示，一厚为b的“无限大”带电平板 ， 其电荷体密度分布为?＝kx (0≤x≤b )，式中k为一正的常量．求： P1 P P2 (1) 平板外两侧任一点P1和P2处的电场强度大小； x O (2) 平板内任一点P处的电场强度； x (3) 场强为零的点在何处？

b 解： (1) 由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为E．

作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示． 按高斯定理E?dS?S????q/?b00，即

2SE?1?0?b0?Sdx?2

kS?0?xdx?kSb 2?02 E S S E 得到 E = kb / (4?0) (板外两侧) dx b (2) 过P点垂直平板作一柱形高斯面，底

面为S．设该处场强为E?，如图所示．按高斯

E S 定理有

?E??E?S?kS?0?x0kSb2 xdx?2?0 S P x E?

k得到 E??2?0?2b2???x?2?? (0≤x≤b) ??2b2?0， 可得x?b/2 (3) E?=0，必须是x?2

?7. 一“无限大”平面，中部有一半径为R的圆孔，设平面上均匀带电，R电荷面密度为?．如图所示，试求通过小孔中心O并与平面垂直的直O线上各点的场强和电势(选O点的电势为零)．

解：将题中的电荷分布看作为面密度为?的大平面和面密度为－?的圆盘叠加的 结果．选x轴垂直于平面，坐标原点Ｏ在圆盘中心，大平面在x处产生的场强为

?σx? ?E1?i?

2?0x

4

圆盘在该处的场强为

???σx?1?1??i ?

??2?0?xR2?x2?????σx∴ E?E1?E2?i?

222?0R?x ?E2?? POx

该点电势为 U??0x?2?0xdxR?x22??R?R2?x2 2?0??

-8．一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝53104 m的 B A -圆柱形阴极A和一个套在阴极外的半径R2＝4.53103 m的R1 同轴圆筒形阳极B，如图所示．阳极电势比阴极高300 V，

R2 忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出时所受的电场力．(基本

- 电荷e＝1.631019 C)

解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为?．按高斯定理有 2?rE = ?/ ?0

得到 E= ? / (2??0r) (R1＜r＜R2) 方向沿半径指向轴线．两极之间电势差

??R2??R2dr UA?UB??E?dr?? ??lnA2??0?R1r2??0R1U?UAUB?UA1?得到 ， 所以 E??B?

2??0ln?R2/R1?ln?R2/R1?rB

在阴极表面处电子受电场力的大小为 F?eE?R1??eUB?UA1?

c?R2/R1?R1-

＝4.3731014 N 方向沿半径指向阳极．

四 研讨题

1. 真空中点电荷q的静电场场强大小为 E?q

4??0r21式中r为场点离点电荷的距离．当r→0时，E→∞，这一推论显然是没有物理意义的，应如何解释？

参考解答：

点电荷的场强公式仅适用于点电荷，当r→0时，任何带电体都不能视为点电荷，所以点电荷场强公式已不适用．

若仍用此式求场强E，其结论必然是错误的．当r→0时，需要具体考虑带电体的大小和电荷分布，这样求得的E就有确定值．

5

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