复变函数试题4

一、填空题（每小题2分，共10分）。

1．复数z?(1?i41?i)的指数形式为()；

2．Ln1?(2k?i) ；

13．函数

f(z)?z(ez?1)的奇点为()； ???(1?i)nzn4．幂级数n?1的收敛半径为( )；

?ndz?5．设c为逆时针方向的圆周：|z0|?r?1，则?cn?z??2()。

二、选择题（每小题2分，共10分） 1.下列关系正确的是（）

A．

e|z|?|ez| B．sinz?sinz C．(ab)z?abz D．Lnab?bLna 2．设

f(z)?my3?nx2y?i(sx3?txy2)为解析函数，则（） A．m?1,n??3,s?1,t??3 B．m??3,n?1,s??3,t?1 C．m?1,n?1,s??3,t??3 D．m??3,n??3,s?1,t?13．设有向曲线c为折线AOB，其中A(1,0),O(0,0),B(0,1)，则

?c(z|z|?zz)dz= 4 A．3?23i B．?43?23i4 C．3?23i42 D．?3?3i

4下列级数中条件收敛的是（）

???(4?4i)n????1n?? A．n?05 B．?einn?1 C．?n?1ni D．?1n?1n2?i5.列结论正确的是（）

A．若f(z)在z0解析，则Res[f(z),z0]?f(z0)

（）

1dn?1Res[f(z),z0]?limn?1f(z)zzf(z)(n?1)!?z0dz B．若0是的n级极点，则

Res[f(z),zf(z) C．若0是的可去奇点，则

z0]?limf(z)z?z0

? D．若P(z),Q(z)在z0解析，且P(z0)?0,Q(z0)?0,Q(z0)?0，则

Res[P(z0)P(z),z0]?Q(z)Q?(z0)

三、是非题(每小题2分,共10分)

1．方程?z??z?C（??0为复常数，C为实常数）表示复平面上的一条直

线

。

2．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域E内一点z?x?iy处可导的充要条件是

u,v在点z?x?iy处满足C?R条件。（）

2?iezdz??|z|?1zn(n?1)!，n是大于1的自然数。3.（）

4．如果函数f(z)在单连通域E内处处解析，c为E内任一条简单闭曲线，则

?Ref(z)dz?0，?Imf(z)dz?0（）

cc5．数f(z)在z0的某邻域内可展成幂级数的充要条件是f(z)在z0的某邻域内连续且在此邻域内沿任一简单闭曲线的积分为零。（）

四．计算下列各题（每小题7分，共28分） 1．计算(?3)的值。

13

2．方程

argz?1??z?1（?为常数）表示什么曲线。

122?c(z?1)coszdzx?y?4x。 c3．计算积分，其中为正向圆周

4．计算积分?c

五．计算下列各题（每小题8分，共32分）

32f(z)?u(x,y)?iv(x,y)u(x,y)?y?3xy，1．求解析函数，其中且f(i)?1?i。

Lnzdz，其中c为正向单位圆周|z|?1。

2．设f(z)是幂级数n?1

f(z)?1z(z?1)2在0?|z|?1及|z|?1内展开成罗朗级数。

?nz??1n(n)|z|?1f(0)。 在其收敛域内的和函数，求

3．将函数

4．求

五．简述题（10分）

1．复变对数函数与实变对数函数有什么区别。

2．复变函数展为泰勒级数的条件与实变函数展为泰勒级数的条件有什么区别。 答：1.复变对数函数与实变对数函数有下列区别：

（1）复变对数函数为多值函数，而实变对数函数为单值函数； （2）复变对数函数为周期函数，而实变对数函数不是周期函数； （3）复变对数函数的定义域为z?0，而实变对数函数的定义域为x?0。 2.复变函数展为泰勒级数的条件很弱，只要求函数在该点解析即可，而实变函数展为泰勒级数的条件却很强，不仅要求函数在该点具有任意阶导数，而且还必须要求余项趋于零。

f(z)?tanzz的有限奇点及留数。

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