浮点数加减运算课件

如果一个二进制浮点数的尾数的绝对值小于1并且大于等于0.5，（1＞|尾数|≥0.5），那么这个二进制浮点数就是一个规格化的浮点数。

用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有一个符号位时：

规格化的浮点数的尾数是正数时应该是 0 . 1 X X X X X X X X X ……的形式 （0表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）

规格化的浮点数的尾数是负数时应该是 1 . 0 X X X X X X X X X ……的形式 （1表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）

用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有两个符号位时：

规格化的浮点数的尾数是正数时应该是 00 . 1 X X X X X X X X X ……的形式 （00表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）

规格化的浮点数的尾数是负数时应该是 11 . 0 X X X X X X X X X ……的形式 （11表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）

两个浮点数加减法的计算结果必须规格化，如果不是规格化的数，则要通过修改阶码并同时左移或者右移尾数，使其变为规格化的数。

[例] x＝2

010

×0.11011011，y=2

100

×-

0.10101100，浮点数均以补码表示，阶码采用双符号位，尾数采用单符号位。 求x+y 。

答：

（步骤1）转换成题目中要求的浮点数格式：

浮点数x＝2010×0.11011011的阶码是+010，尾数是+0.11011011 浮点数均以补码表示，所以阶码以补码表示，并且阶码采用双符号位， [x]浮的阶码＝00010（00是两个符号位）

浮点数均以补码表示，所以尾数以补码表示，并且尾数采用单符号位， [x]浮的尾数＝0.11011011（0是1个符号位）

浮点数y=2100×-0.10101100的阶码是+100，尾数是 - 0.10101100 浮点数均以补码表示，所以阶码以补码表示，并且阶码采用双符号位， [y]浮的阶码＝00100（00是两个符号位）

浮点数均以补码表示，所以尾数以补码表示，并且尾数采用单符号位， [y]浮的尾数＝1.01010100（1是1个符号位）

（y=2100×-0.10101100中10101100先取反变为01010011，再加1后变为01010100）

[x] 浮=00010, 0.11011011； [y] 浮=00100, 1.01010100；

（步骤2）阶数对齐：

x的阶码是+2（二进制00010），y的阶码是+4（二进制00100），阶码小的向阶码大的数对齐， x的阶码向y的阶码对齐。

x的阶码加2，从00010变成00100 ，此时x的阶码与y的阶码相等。

[x]浮尾数0.11011011右移两位(小数点不动，左边添加两个符号位，因为x的尾数是正数，所以添加的两个符号位是0)，

[x]浮尾数变为0.00110110(11)

0.11011011（右移两位，小数点不动，左边添加两个符号位） 0.00110110(11)

因为x的阶码与y的阶码相等，都是00010，所以把x的尾数与y的尾数相加。

（步骤3）尾数相加

0. 0 0 1 1 0 1 1 0 (11) ＋ 1. 0 1 0 1 0 1 0 0

———————————————— 1. 1 0 0 0 1 0 1 0 (11)

注意：

因为y的尾数没有对应的位数，所以(11)直接落下来进入结果； x尾数的符号位0与y尾数的符号位1同样参与到加法运算。

（步骤4）判断计算结果是否溢出：

当计算结果的尾数只有一个符号位时，符号位与小数点后第一位相等，则没有溢出；如果符号位与小数点后第一位不等，则产生溢出。

一旦发生溢出，计算结果的尾数右移一位，同时阶码加一。

本题中计算结果的尾数是1. 1 0 0 0 1 0 1 0 (11)，其中符号位是1，小数点后第一位是1 ，二者相等，没有溢出。

（步骤5）判断计算结果是否满足规格化：

用二进制补码表示1个规格化的浮点数，并且规格化的浮点数的尾数只有一个符号位时：

规格化的浮点数的尾数是正数时应该是 0 . 1 X X X X X X X X X ……的形式 （0表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）

规格化的浮点数的尾数是负数时应该是 1 . 0 X X X X X X X X X ……的形式 （1表示符号位，X表示0或1中的任意一个数值）

本题中计算结果的尾数是1. 1 0 0 0 1 0 1 0 (11)，不满足规格化的浮点数的尾数是负数时应该是 1 . 0 X X X X X X X X X ……的形式，因此不是规格化的浮点数。

为了规格化，本题中计算结果的尾数是1. 1 0 0 0 1 0 1 0 (11)，左移1位，同时阶码减一。（只能左移，而且左移1位就可以了）

原来的计算结果

[x+y] 浮=00100, 1. 1 0 0 0 1 0 1 0 (11)；

规格化后（尾数左移1位，小数点不动，右边添加一个0；同时阶码减一） [x+y] 浮=00011, 1 . 0 0 0 1 0 1 0 1 (10)；

尾数1 . 0 0 0 1 0 1 0 1，满足规格化的浮点数的尾数是负数时应该是 1 . 0 X X X X X X X X X ……的形式，因此是规格化的浮点数。

（步骤6）计算结果舍入处理

就近舍入(0舍1入) 法：

类似”四舍五入”,丢弃的最高位为1,进1；本题丢弃的是(10)，最高位为1，所以向上进1位

则有

1 . 0 0 0 1 0 1 0 1 ＋ 1

──────────────── 1. 0 0 0 1 0 1 1 0 结果为[x+y] 浮=00011, 1 . 0 0 0 1 0 1 1 0；

直接舍弃法：

本题 (10)被直接舍弃。结果为[x+y] 浮=00011, 1 . 0 0 0 1 0 1 0 1；

35[例] x＝8，y=16，用变形补码计算x+y，并指出

结果是否溢出。

答：

（步骤1）转换成题目中要求的浮点数格式：

3-3-3-1x==(3)10×2=(11)2×2=(0.11)2×2 85-4-4-1y==(5)10×2=(101)2×2=(0.101)2×2 16 ( )10表示十进制数，( )2表示二进制数。

浮点数x=(0.11)2×2-1的阶码是-1，尾数是+0.11。变形补码要求本题中阶码采用补码形式并且两个符号位；尾数采用补码形式并且两个符号位。

[x]浮的阶码＝11111（11是两个符号位；1对应二进制是001，001取反后是110，110再加1变成111）

[x]浮的尾数＝00.11000000（00是两个符号位；题目没写尾数几位，自己假定尾数10位）

浮点数y=(0.101)2×2-1的阶码是-1，尾数是+0.101。

[y]浮的阶码＝11111（11是两个符号位；1对应二进制是001，001取反后是110，110再加1变成111）

[y]浮的尾数＝00.10100000（00是两个符号位；题目没写尾数几位，自己假定尾数10位）

[x] 浮=11111, 00.11000000；

[y] 浮=11111, 00.10100000；

（步骤2）阶数对齐：

x的阶码是-1（二进制11111），y的阶码是-1（二进制11111）

因为x的阶码与y的阶码相等，都是11111，所以不用移位处理，直接把x的尾数与y的尾数相加。

（步骤3）尾数相加

00.11000000 ＋ 00.10100000

———————————————— 01.01100000

注意：

x尾数的符号位00与y尾数的符号位00同样参与到加法运算。

（步骤4）判断计算结果是否溢出：

当计算结果的尾数有两个符号位时，两个符号位相等，则没有溢出；如果两个符号位不等，则产生溢出。一旦发生溢出，计算结果的尾数右移一位，同时阶码加一。

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