级数求和的常用方法

1.7方程式法 .................................................... 3 1.8原级数转化为子序列求和 ...................................... 3 1.9数项级数化为函数项级数求和 .................................. 3 1.10化数项级数为积分函数求原级数和 ............................. 4 1.11三角型数项级数转化为复数系级数 ............................. 4 1.12构造函数计算级数和 ......................................... 5 1.13级数讨论其子序列 ........................................... 5 1.14裂项法求级数和 ............................................. 6 1.15裂项+分拆组合法 ............................................ 7 1.16夹逼法求解级数和 ........................................... 7 2函数项级数求和 .................................................... 8

2.1方程式法 .................................................... 8 2.2积分型级数求和 .............................................. 8 2.3逐项求导求级数和 ............................................ 9 2.4逐项积分求级数和 ............................................ 9 2.5将原级数分解转化为已知级数 ................................. 10 2.6利用傅里叶级数求级数和 ..................................... 10 2.7三角级数对应复数求级数和 ................................... 11 2.8利用三角公式化简级数 ....................................... 12 2.9针对2.7的延伸 ............................................. 12 2.10添加项处理系数 ............................................ 12 2.11应用留数定理计算级数和 .................................... 13 2.12利用Beta函数求级数和 ..................................... 14 参考文献........................................................... 15

级数求和的常用方法

级数要首先考虑敛散性，但本文以级数求和为中心，故涉及的级数均收敛且不过多讨论级数敛散性问题.

由于无穷级数求和是个无穷问题，我们只能得到一个n??的极限和.加之级数能求和的本身就困难，故本文只做一些特殊情况的讨论，而无级数求和的一般通用方法，各种方法主要以例题形式给出，以期达到较高的事实性.

1数项级数求和

1.1等差级数求和

等差级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公差，并运用公式可求和.

s?na1?n(a1?an）n(n?1)，其中a1为首项，d为公差 d?22 证明：s=a1+a2+...+an①，s=an+...+a2+a1② ①+②得：2s?(a1?an）+?a2+an-1?+...+(an+a1) 因为等差级数a1?an?...?an+a1

n(a1?an）此证明可导出一个方法“首尾相加法”见1.2. 21.2首尾相加法

此类型级数将级数各项逆置后与原级数四则运算由首尾各项四则运算的结果相同，便化为一简易级数求和.

所以s?02n例1:求cn. ?3c1)cnn?5cn?...?(2n?102nn210解：s?cn?3c1n?5cn?...?(2n?1)cn，s?(2n?1)cn?...5cn?3cn?cn，两式相加得：n202s?(2n?2)(cn?...cn?c1)?2n?1，即： n?cn)?(n?102ncn?3c1)cn?(n?1)2n. n?5cn?...?(2n?11.3等比级数求和

等比级数为简单级数类型，通过比较各项得到其公比并运用公式可求和.

a1(1?qn)当q=1，s?na1；当q≠1，s?，其中a1为首项，q为公比.

1?q证明：当q=1，易得s?na1，

当q≠1，s=a1+a1q1+...+a1qn?1 ①， qs=a1q+a1q2+...+a1qn ②， ①-②得(1?q)s?a1?a1qn.可以导出一种方法“错位相减”见下1.4

1

1.4错位相减法

此方法通常适用于等差与等比级数混合型，通过乘以等比级数公比q，再与原级数四则运算后化为等差或等比级数求和.

2n?1例2：计算?n.

21352n?1352n?1解： s??2?3?...?n ①，2s?1??2?...?n?1 ②，

222222211?n?1nnn2k?12k?122n?12?2n?1?3?1?2n?1，②-①得： s?2s?s?1??k?1??k?1??k?n?1?nn?1n122222k?22k?1k?121?2lims=3.

n??1.5蕴含型级数相消法

此类型级数本身各项之间有蕴含关系，通过观察可知多项展开会相互之间相消部分项，从而化简级数求和.

例3：计算?(i?2i?1?i?2).

i?1n解：将各项展开可得：

s?(1?22?3)?(2?23?4)?...?(n?2?2n?1?n)?(n?1?2n?n?1)?(n?2n?1?n?2)

?1?2-n+1+n?2?1?2? 1.6有理化法求级数和

1，所以lims?1-2. n??n?1?n?2对于一些级数通项含有分式根式的级数，我们可以仿照数学中经常使用的方法“有理化”处理，以期达到能使得级数通项化简，最后整个级数都较容易求和.

例4：计算?n?1?1. n(n?1)(n?n?1)解：可以看出此级数含根式较多，因此尝试运用有理化的方法去处理，即通项

an?1，对其分母有理化得：

n(n?1)(n?n?1)分母有理化1n?1?n11?????，则原级数可以采用本文中的1.5“蕴含型?-?????n(n?1)(n?n?1)n(n?1)nn?1级数相消法”，则可以快速求得级数和的极限为1. 1.7方程式法

此型级数通过一系列运算能建立级数和的方程式，通过解方程求解级数和.准确建立方程是关键问题，方程类型不固定，有类似与微分方程之类的，故要视具体情况建立方程，解方程也要准确，才能求出级数和.

例5：计算qcos??q2cos2??...?qncosn?，其中q?1.

2

解：记s=qcos??qcos2??...?qcosn?= ?qkcosk?

2nk=1n两边同时乘以2qcos?得

2qcos??s=?2qk=1nk+1cos?cosk?=k+1q（k+1）??+cos（k-1)??? ??cosk=1n22n?2即：2qcos??s=（qn+1cos（n+1）??s?qcos?)?(q?qs?qcosn?)

qn?2cosn??qn?1cos(n?1)??qcos??q2解此方程得：s= 21?q?2qcos?qcos??q2. lims?2n??1?q?2qcos?1.8原级数转化为子序列求和

若下列条件成立[1]:（1）当n??时级数的通项an?0（2）级数各项没有破坏次序的情况而得新序列?bn收敛于原级数 .

n?1?1111111111+++（-）+++（-）+.... 例6：计算1++（-1）2345627893111解：liman?0，应用欧拉公式1++?...??c?lnn?en，其中c为欧拉常数，

n??23n11111en?0(n??)s?1+++...+-1--...-

233n2n?ln3n?lnn?e3n-en，lims?ln3.

n??1.9数项级数化为函数项级数求和

数项级数化为相应函数项级数，再通过函数项级数求和，并赋予函数未知数相应未知数后记得相应原级数的和.

例7：求级数和?1.

（2n-1）n?11?3?5?...?1x2n?1由函数敛散性知识可知其收敛域为

（2n-1）n?11?3?5?...?'??解：建立函数项级数s(x)??(??,??)，将函数项级数逐项求导可得：s(x)?1??1x2n?2=

（2n-3）n?11?3?5?...??1?x?1x2n?1?1?xs(x)，由此可知s(x)满足微分方程

（2n-1）n?11?3?5?...??s'(x)?xs(x)?1，且易知s(0)?0，解此常微分方程得：

3

s(x)?e12x2?x0e1?t22dt，令x?1则可以求出原级数和：s?e12?e0112t2dt.

1.10化数项级数为积分函数求原级数和

将原级数通过化简，构造积分极限式，从而转化为积分求原级数和也不失为一种好方法，构造积分式子是关键，一般原级数中通过四则运算将n与积分中的分割相联系从而构造分割，建立级数与积分式子的桥梁.

例8：计算??1，其中(n??).

k?1n?k?n1dx分子分母同时除以n构造分割111??????????lim?=ln2. 解：记s????????????建立级数与积分的桥梁0n??k1+xk?1n?kk?11?nn1.11三角型数项级数转化为复数系级数

将三角型数项级数转化为复数域上的级数，由于复数的实部对应于数项级数，从而转化为求复数系级数进而求原级数和.

例9[7]：设s= qcos??q2cos2??...?qncosn?，求s.

解：由于s=?qkcosk?，令z?qei??q(cos??isin?)为复数，其中k?0,1,2...

k?1nzk?qkeik??qk(cosk??isink?)，其中k?1,2...，得：

n1?zn?1??zk?1+z?z2?...?zn?1?q(cos??isin?)?q2(cos2??isin2?)+ 1?zk?0q3(cos3??isin3?)+...+qn(cosn??isinn?)?1?qcos??q2cos2??q3cos3??

...+qcosn??i(qsin??qsin2??...?qsinn?)而另一方面

n2n11?zn?11?qn?1(cos(n+1)??isin(n+1)?)= ?21-2qcos??q1?z1?q(cos??isin?)n?1n?2n?21?qcos??qcos(n?1)??qcos(n?1)?cos??qsin(n?1)?sin??｛???+ n?2n?1n?2i?qsin??qcos(n?1)?sin??qsin(n?1)??qsin(n?1)?cos????｝

取实部对应原级数和即得：

1?s?s?1n?1n?2(1?qcos??qcos(n?1)??qcosn?)即： 21-2qcos??q1(1?qcos??qn?1cos(n?1)??qn?1cosn??1?2qcos??q2) 21-2qcos??qqcos??q2当n??，且q<1时lims?. 2n??1?q?2qcos?4

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