大学基础物理学答案（习岗）第5章

第五章 恒定电流

第五章 恒定电流

本章提要

1.电流强度

· 当导体中存在电场时，导体中的电荷会发生定向运动形成电流。如果在?t时间内通过导体某一截面的电量为?q，则通过该截面的电流I为

?q I??t· 如果电流随时间变化，电流I的定义式为

?qdq I?lim??t?0?tdt

2.电流密度

· 导体中任意一点的电流密度j的大小规定为单位时间内通过该点单位垂直截面的电量，j的方向规定为通过该点的正电荷运动的方向。根据电流密度的定义，导体中某一点面元dS的电流密度为

j?dI dS?· 对于宏观导体，当导体中各点的j有不同的大小和方向时，通过导体任意截面S的电流可通过积分计算，即

I???j?dS

S·电流连续性方程为

??SjdS??dq dt对恒定电流

??SjdS?0

此关系称为电流的恒定条件。

3.欧姆定律

· 对于一般的金属导体，在恒定条件下欧姆定律有如下表达形式

I?U1?U2 R 69

第五章 恒定电流

其中R为导体的电阻，U1?U2为导体两端的电势差

· 欧姆定律的微分形式为

j??E

其中，??1?为电导率。

4.电阻

·当导体的材料与温度一定时，对一段截面积均匀的导体，其电阻的表达式为

R??l S其中l为导体的长度，S为导体的横截面积，?为导体的电阻率。该式称为电阻定律。

·如果导体的横截面积不均匀，导体的电阻可通过下述积分来计算：

R???ldl dS5.电动势

· 非静电力将单位正电荷从电源负极经过电源内部移至电源正极时所作的功称电动势。用?表示电动势，上述定义可表达为

??A非q

· 如果用Ek表示非静电场的场强，电动势也可表示为 ???

6.电源电动势和路端电压

· 若电源正负极板的电势分别为U?和U?，电源内阻为r，电路中电流为I，则电源电动势为

??(U??U?)?Ir

(?)(?)Ekdl

· 路端电压为

U??U????Ir

7.接触电动势与温差电动势

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第五章 恒定电流

· 因电子的扩散而在导体接触面上形成的电动势为接触电动势。其大小为

kTnAln enB??其中，e为电子电量，k为玻尔兹曼常数，T为热力学温度，nA是导体A中的电

子数密度，nB是导体B中的电子数密度。

· 当两种不同的金属导体相互紧密接触，构成闭合回路时，若将两个接触 端置于不同的温度下，在回路中出现的电动势称温差电动势，其大小为

??8.含源电路的欧姆定律

k(T1?T2)nAln enBUA?UB??(IR?Ir)

其中，负号对应电源放电的情况。

9.基尔霍夫定律

· 基尔霍夫第一定律：流入任一个节点的电流和流出该节点的电流的代数和等于零，即

?I?0

· 基尔霍夫第二定律：沿任一个闭合回路的电动势的代数和等于回路中各电阻上电势降落的代数和。

????IR

思考题

5-1 电流是电荷的流动，在电流密度j?0的地方，电荷体密度?是否可能等于零？

答：有可能等于零。例如，在金属导体中电荷的定向移动形成电流，此时在导体中存在着等量异号的电荷，故电荷体密度等于零。而当单独的正离子或负离子的运动形成电流时电荷的体密度不等于零。

5-2 如果通过导体中各处的电流密度不相同，那么电流能否是恒定的？为什么？

答：电流能够恒定，因为即使导体中各处的电流密度不相同，但只要满足电流的恒定条件??jdS?0，通过导体的电流就是恒定的。

S 71

第五章 恒定电流

5-3 一根铜线外涂以银层，两端加上电压后，在铜线和银层中通过的电流是否相同？电流密度是否相同？电场强度是否相同？

答：由欧姆定律I??UR??U?S/(?l)，铜线和银层的长度一样，但它们的横截面积S不同，电阻率?不同，所以，当两端施加同样的电压时通过铜线和银层的电流是不相同的。同理，由j?IS??U(?l)可知，铜线和银层的电流密度也不相同。由E??Ul可知，铜线和银层中的电场强度是相同的。

5-4 截面相同的铝丝和钨丝串联，接在一个直流电源上，问通过铝丝和钨丝的电流强度和电流密度是否相等？铝丝内和钨丝内的电场强度是否相等？

答：因为铝丝和钨丝串联，所以通过铝丝和钨丝的电流强度相等。又因二者截面积相同，根据j?dIdS，则通过的电流密度也相等。

根据j??E?E?，由于两种材料的电阻率?不相等，通过的电流密度相等，所以，两种材料内的电场强度不相等。

5-5电源的电动势和端电压有什么区别？两者在什么情况下才相等？ 答：电动势是单位正电荷从负极经电源内部移到正极时非静电力所做的功，端电压是指电源正负两极之间的电压，一般情况下电源的端电压不等于电动势，两者之差为Ir，即电源电流与内阻r之积，称内阻电位降。当电源内阻为0，即Ir=0时，端电压在数值上等于电动势。对于有内阻的电源，只要流过它的电流为零（处于开路状态的电源就是如此），端电压也与电动势在数值上相等。

练习题

5-1 大气中由于存在少量的自由电子和正离子而具有微弱的导电性。已知地

?1球表面附近空气的电导率??3?10?14??1?m?1，场强E?100N?C，地球半径R?6?106m。若将大气电流视为恒定电流，计算由大气流向地球表面的总电流强度。

解：已知??3?10?14??1?m?1，E?100N?C?1。在E 地球表面上取一个微元曲面dS，如图5-1所示。则由大气流向曲面dS的电流强度为

dS dI?j?dS?jdS

（1）对上式积分可得大气流向地球表面的总电流强度为

I???j?dS???jdS?jS

SS图5-1

因为

j??E?3?10?14?100?3?10?12(A?m-2)

地球表面积为

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第五章 恒定电流

S?4?R2?4???6?106??4.52?1014?m2?

2于是，大气流向地球表面的总电流为

I?jS?3?10?12?4.52?1014?1.4?103(A)

5-2 截面积为10mm2的铜线中，允许通过的电流是60A，试计算铜线中的允许电流密度。设每个铜原子贡献一个自由电子，可算得铜线中的自由电子密度是8.5?1028m?3，试计算铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度。

解：铜线截面积S?10mm2?1.0?10?5m2，允许通过的电流I?60A，则铜线中允许电流密度

I60j???6.0?106(A?m?2) ?5S1.0?10又知铜线中的自由电子密度n?8.5?1028m?3，则铜线中通有允许电流时自由电子的漂移速度为

j6.0?106v???4.4?10?4(m?s?1) 28?19ne8.5?10?1.6?10

5-3 有一个灵敏电流计可以测量小到10?10A的电流，当铜导线中通有这样小的电流时，每秒内有多少个自由电子通过导线的任一个截面？如果导线的截面积是1mm2，自由电子的密度是8.5?1028m?3，自由电子沿导线漂移1cm需要多少时间？

解：设导线中单位体积的电子数为n，导线截面积为S，电子运动的平均速度为v，则t时间内通过截面S的电子数N应为如图5-2所示的圆柱体内的电子数，即

N?nSvt 由于I?nevS，即n?I(evS)，将其带入上式得

S I vtN?nSvt?IIt?Svt? 图5-2 evSe由已知条件可知，铜导线中电流I?10?10A，t＝1s，则每秒内通过导线任一个截面的自由电子数为

It10?10?1N???6.3?108(s?1) ?19e1.6?10又知导线的截面积S?1mm2?1?10?6m2，自由电子的密度n?8.5?1028m?3， 则电子的平均漂移速率为

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