大学物理磁场作业解答(1)

11-1 求图中各种情况下O点处的磁感应强度B。

解：图a的电流可以看成是由1、2两个电流合成的。故合场强为 直线电流，和矩形电流产生的磁感应强度的矢量和。 直线电流1在O点产生的磁感应强度

?0I2?(a/2)，方向垂直纸

面向外。

矩形电流2由两条长度为a、两条长度为b的直线电流组成在O点产生的磁感应强度为：

2?0I4?(a/2)[sin(?/2)?sin(??/2)]?2?0I[sin(?/2)?sin(??/2)]

4?(b/2)ba?b22?2?0I2?I2?Isin(?/2)?0sin(?/2)?0?a?b?aba(?)方向垂直纸面向内。

?a2?b2ab2?0I?2?0I?baa?b22

?O点的磁感应强度为：B??0I2?0I?I2?Iba?(?)?0?0a2?b2 ?a?a2?b2ab?a?ab这里利用了载流直导线外的磁感应强度公式：

B??0I[sin?2)?sin?1] 4?r

电流b由两条直线电流，和一个圆弧组成：

B??0I1352R360?2?0I(sin90??sin0) 4?R?3?0I?0I?I??0.350 16R2?RR

电流c中两条直线电流的延长线都过圆心，由毕-萨定律知道在圆心处产生的磁感应强度为0，圆弧产生的磁感应强度为

B??0I1l1?Il?022

2R2?R2R2?Rl1lI1??2I2带入上式得到B=0 SS由于两端的电压相同有V??11-2．如图所示，一扇形薄片，半径为R，张角为?，其上均匀分布正电荷，电荷密度为?，

薄片绕过角顶O点且垂直于薄片的轴转动，角速度为?，求O点处的磁感应强度。 解答1：将扇形薄片分割成半径为r的圆弧形面积元，电荷量为：dq??r?dr

转动时相当于园电流，对应的电流强度为： dI?dq?r?dr?????rdr T2?/?2?产生的磁场为 dB?R?0dI2r???0??dr 4?圆心处的磁场为B??????dr??0??R 0?4?4?0解答2：以o为圆心，采用极坐标系将扇形薄片分割成小的面积元 dq??ds??rd?dr

利用运动电荷产生磁场的公式 dB??0dqv?0?rd?drr??0????d?dr 224?r4?4?r?R?0?0????R??d?dr????d??dr?0对上式积分得：B??? 4?4?4?0011-3 在半径R?1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自下而上地通有电流I?5.0A，求圆柱轴线上任一点P处的磁感应强度。（这里把自上而下改为自下而上，求解时对应右图。如不改时方向相反。）

解：从电流的顶上看是个半圆形，在其上取一段圆弧（对应于

一无限长载流直导线）， 电流强度为：dI?IId?Rd?? ?R?产生的磁场方向如图，由此可见合磁场方向沿水平向右为：

dBx??0dI?0Id??0Id??cos(?/2??)?sin? 222?R2?R2?R??磁感应强度为：

?Id??I?0IB?Bx??02sin???02?2=6.37×10-5T

2?R0?R02?R方向在x轴正向。

11-4 图中所示为实验室中用来产生均匀磁场的亥姆霍兹圈。它由两个完全相同的匝数为N的共轴密绕短线圈组成（N匝线圈可近似视为在同一平面内）。两线圈中心O1,O2间的距离等于线

圈半径R，载有同向平行电流J。以O1,O2连线中点为坐标原点，求轴线上在O1和O2之间、坐标为x的任一点P处的磁感应强度B的大小，并算出B0、B01、B02进行比较。 解：由园电流在轴线上一点的磁感应强度公式：B??0IR22(R?x)223/2

用到上式 线圈1产生的磁感应强度B1??0NIR22(R?(x?R/2))

223/2

线圈2产生的磁感应强度B2??0NIR22(R?(x?R/2))?223/2B0?2B1x?0??0NIR2(R?(R/2))?223/2?0NI(5/4)?3/2R?0.715?0NIR

B01?B02??0NI2R?0NIR22(R2?R2)3/2?0NI1?0NI1 (?)?0.6783/2R22(2)R两个圆环之间的磁场变化缓慢。

11-5 有一半径为R的半圆形电流，求在过圆心O垂直于圆面的轴线上离圆心距离为x处P点的磁感应强度。

解：如右图利用毕-萨定律分析可知z方向的B分量为0：

dB??0IRd?

4?r2x轴分量为：dBx??/2?0IRd??0IRd?cos(?/2??)?sin? 224?r4?r?0IRd??0IR?0IR2 Bx??cos(?/2??)?sin??2234r4r??/24?ry轴分量为：

?0IRd??0IRd??0IRd?xdBy?sin(?/2??)cos??cos?cos??cos? 2224?r4?r4?rr?0IRd?x?0IRx?/2?0IRx By??cos??cos?d??233?r4?r??/22?r??/24?r??0IR2??0IRx?B?i?j 这里 r?R2?x2是圆环到轴线的距离。 334r2?r11-6 半径为R的均匀带电球面的电势为U，圆球绕其直径以角速度?转动，求球心处的磁

?/2感应强度。

由球面的电势表示式U?q4??0R

得到球面电荷量q?4??0RU 电荷面密度 ???0Uq?

R4?R2取求坐标系，将圆球分割成圆环，圆环带电量为

dq??2?rRd?

dq?2?rRd?????rRd? 等效的电流为dI?T2?/?利用园电流轴线上的磁感应强度公式B?r ,可以得到

?0IR22(R?x)223/2这里R是圆环的半径，在本例中为

dB??0(??rRd?)r22(r?x)223/2

s x是圆环的圆心到轴线上一点的距离，在本例中为y.。则有r?Rsin?; y?Rco?dB???0(??rRd?)r22(r?x)223/2??0??R2sin3?d?

B??0?0??R2sin?d??3?0??R?2??sin?d??03?0??R?22?(1?cos?)dcos? ?0???0??R2???R1122(cos??cos3?)?02(1?)??0??R??0?0?U

323330?511-7 地球上某处的磁感应强度水平分量为1.7?10T，试计算该处沿水平方向的磁场强度。

1.7?10?5解：由B???13.5A/m ?7?04??10H11-8 螺线环中心周长l?10cm，环上线圈匝数N?200匝，线圈中通有电流I?100mA。 （1）求管内的磁感应强度B，及磁场强度H；

（2）若管内充满相对磁导率?r?4200的铁磁质时，管内的磁感应强度和磁场强度为多大?

（3）铁磁质内由传导电流I产生的磁场B，与由磁化电流产生的磁场B'各为多大? 解：

??（1）由安培环路定律 ?H?dl??Ii

i??选择螺线环中心为环路路径：?H?dl?Hl?NI得到磁场强度

H?磁感应强度 B0?NI200?0.1??200A/m l0.1?0NIl?4??10?7?200?2.5?10?4T

（2）管内充满相对磁导率?r?4200的铁磁质时磁场强度不变，磁感应强度为

B??r?0NIl?4200?2.5?10?4?1.06T

（3）传导电流I产生的磁场B0为：B0??0NIl?2.5?10?4T

磁化电流产生的磁场B'为：B'?B?B0?1.06T

11-9 在半径为R的长圆柱导体内与轴线平行地挖去一个半径为r的圆柱形空腔．两圆柱形轴线之间的距离为d(d?r)。电流I在截面内均匀分布，方向平行于轴线。求： （1）实心圆柱轴线上磁感应强度的大小；

（2）空心部分中任一点的磁感应强度。

解：这个电流可以看成是：在空腔内补上同样电流密度的电流，在于同一位置再加上一条方

向相反的电流，这时磁场是这两个电流各自产生的磁场的矢量和。 柱体的电流密度为

j?I?(R?r)22

在实心圆柱轴线上大圆柱产生的磁感应强度为0，小园柱产生的磁感应强度由安培环路定律求解为：

圆柱内的电流密度为：j?I?(R?r)22

??2B?dl?B?2?d??j?r 0?

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