高等数学知识在医学中的应用举例

高等数学知识在医学中的应用举例

随着现代科学技术的发展和电子计算机的应用与普及，数学方法在医药学中的应用日益广泛和深入。医药学科逐步由传统的定性描述阶段向定性、定量分析相结合的新阶段发展。数学方法为医药科学研究的深入发展提供了强有力的工具。 高等数学是医学院校开设的重要基础课程，下文仅例举一些用高等数学基础知识解决医学中的一些实际问题的例子，旨在启发学生怎样正确理解和巩固加深所学的知识，并且强化应用数学解决实际问题的意识。 例1 脉管稳定流动的血流量

设有半径为R，长度为L的一段血管，左端为相对动脉端，血压为P1．右端为相对静脉端，血压为P2（P（如下图）．取血管的一个横截面，求单位时间内1>P2）通过血管横截面的血流量Q．

P1 r+dr rP2

分析 利用微元法，在取定的横截面任取一个内径为r，外径为r+dr（圆心在血管中心）的小圆环作为研究问题的微元，它的面积近似等于2πrdr，假定血管中血液流动是稳定的，此时血管中血液在各点处的流速v是各点与血管中心距离

r的函数，即v=v(r)．血流量等于流速乘以面积．因此，可以求得在在单位时

间内，通过该环面的血流量dQ的近似值，进而求得该横截面的血流量Q． 解 在单位时间内，通过环面的血流量dQ近似地为

dQ=v(r)2πrdr=2πrv(r)dr.

从而，单位时间内通过该横截面的血流量为 Q=蝌v(r)2πrdr=2π0RR0rv(r)dr.

由研究人员经实验得知，在通常情况下，有

1

v(r)=P1-P2(R2-r2). 4ηL其中η为血液的粘滞系数．于是 Q=2πòR0P1-P2(R2-r2)rdr 4ηLR40轾221π(P1-P2)犏 =Rr-r4ηL犏2臌=π4(P-P)R. 128ηL小结 血流量与血管两端压力差成正比；血流量与血管半径的４次方成正比；血流量与血液粘滞系数成反比．

例2 药物在体内血液中的浓度称为血药浓度．血药浓度随时间变化的函数称为药时曲线．如口服药后，体内血药浓度的变化关系是

=Ae-(ket-e-kat C=C(t)这里A,ke,ka(ke>0,ka>0)为参数，试对该药时曲线进行分析．

解题思路 要分析该药时曲线，首先要确定药时曲线的性态特征，然后根据曲线对血药浓度的进行分析． 解 性态描述 (1)定义域为(0,+?)． (2)求C(t)的一、二阶导数．

(t)=A-(kee-ket+kae-kat ) C￠2-kat(t)=A(ke2e-ket-kae)． Cⅱ(t)=0，解得 (3) 求C(t)的一、二阶导数等于零的解．由C￠kake t=Tm=.

ka-keln(t)=0，解得 由Cⅱ 2

kake t=T0=2=2Tm.

ka-keln(4)因为limC(t)=0，所以C=0是曲线的水平渐近线．

t(5)列出药时曲线的性态特征表如下

范围(0,Tm)Tm(Tm,T0)T0(T0,+?)C￠(t)Cⅱ(t)性态+-凸增0-最大值--凸减-0拐点-+凹减

绘出下图：

Cm C

O Tm T0 t 根据曲线的性态特征，可见：

(1)服药后，体内血药浓度的变化规律是：从0到Tm这段时间内体内药物浓度不断增高，Tm以后逐渐减少．

(2)服药后到Tm时，体内药物浓度达到最大值C(Tm)=Cm，称之为峰浓度，Tm称为峰时．若Tm小Cm大，则反映该药物不仅被吸收快且吸收好，有速效之优点． (3)服药后到t=T0这段时间内曲线是凸的，其后为凹的．这显示体内药物浓度在

T0前变化的速度在不断减小（即血药浓度在减速变化），而在T0后变化的速度在

不断增加（即血药浓度在加速变化），在t=T0 处血药浓度的变化速度达到最小

3

值．由于在T0后整个血药浓度在不断减少，所以，血药浓度在加速减少． (4)当t

例3 求直线型经验公式

从某新生儿1个月开始，每月测量他的体重，得原始数据如下： x（月） 1 y（kg） 3.5 2 4.2 3 5.0 4 5.8 5 6.5 6 7.2 7 8.0 时，C(t)?0，即渐近线是时间轴，表明药物最终全部从体内消除．

根据这些数据，求关于x,y的经验公式（精确到0.001）．

解 （主要介绍最小二乘法，也把选点法和平均值法作以介绍，以示比较） （一）选点法

把表中各对数据作为点的坐标，在坐标平面上画出这些点，观察这些点，可以看出它们大致分布在一条直线上，用透明直尺的边缘在这些点间移动，使它尽量靠近或通过大多数点，画出直线，然后在该直线上选两点（一般为提高经验公式的

精确度，选取的两点间隔较远为好），例如选(1,3.5)和(7,8.0)两点，得经验公式为

y=0.7x5+0 . （Ａ） 2（这里图略） （二）平均值法

先根据七组数据画出经验曲线，确定经验公式是直线型的，然后把表中x,y的对应值代入y=kx+b，可得七个关于k,b的一次方程．为了确定k与b的值，把七个方程分为两组，使两组中方程个数相差一个（当方程为偶数个时，则取相同个数），再把各组方程两边分别相加，就得关于k,b的方程组．

3.5=4.2=5.8=+)8.0=k+b2k+b5.=0k+3b 4k+b6.=5k+5b7k+b+)7=.2k+6b21.5=14k+4b 18=.7k+14b

ì21.5=14k+4b??解方程组：í， ?18.7=14k+3b??

4

得b=2.800,k=0.736，代入y=kx+b，得经验公式：

y=0.7x3+6（三）最小二乘法

. （Ｂ） 2对于实验数据中自变量的每一个值xi(i=1,2,(i=1,2,经验公式求出相应的值yi￠n,n)的实测值yi(i=1,2,,n)，由

,n)，则差值yi-yi￠叫做偏差，记作

δi(i=1,2,n,，)偏差平方和记作?δi2，最小二乘法就是采用偏差平方和为最小

i=1来确定经验公式的．

利用最小二乘法求经验公式y=kx+b，其中k与b为待定系数，分别由下列公式确定：k=??xiyi-nxyxi2-n(x)2.k x.其中x=邋x,y=iyinn

b=y-由上式得k=??xiyi-nxyxi2-n(x)2181.8-7创4=140-7?440.27?0.750. 2 b=y-kx5=.743-椿0.750 42.743.代入y=kx+b，得经验公式：

+0 y=0.7x52 . （Ｃ）

三种方法求得的经验公式分别为：

y=0.750x+2.750; 计算得偏差平方和?δi2=0.0075;

i=1nny=0.736x+2.800; 计算得偏差平方和?δi2=0.0127;

i=1ny=0.750x+2.743. 计算得偏差平方和?δi2=0.0068.

i=1可见，用最小二乘法求出的经验公式最精确．

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