改进的粒子群算法及其在电力系统经济负荷分配中的应用

第29卷 第6 期 中 国 电 机 工 程 学 报 Vol.29 No.0006. 2012 2012年6 月 Proceedings of the CSEE ?2007 Chin.Soc.for Elec.Eng. 1 文章编号：0258-8013 (2012) 07-0001-06 中图分类号：TM 85 文献标志码：A 学科分类号：470·40

改进的粒子群优化算法及其在电力系统经济负荷

分配中的应用

ABSTRACT：Particle Swarm Optimizer (PSO) algorithm is an important algorithm, its background, fundamental, implement method, improvement and algorithm flow chart are introduced in this paper. Economic Load Dispatch (ELD) is a typical optimization problem in power system. Details of this problem and its mathematical model are discussed. Combined with an example, a system of three generators and six buses, the improved PSO algorithm is applied to solve the ELD problem. The algorithm and its application are simulated through Matlab software. According to the simulation result, we can see that the improved PSO algorithm can solve the ELD problem efficiently. The simulation results are compared with the results of the Genetic Algorithm and the Chaotic Optimizer Algorithm, through which we get the advantages of the PSO algorithm. KEY WORDS: PSO algorithm; inertia weight coefficient; economic load dispatch (ELD); Matlab

摘要：粒子群优化（Particle Swarm Optimizer ，PSO) 算法是一种重要的优化算法，本文介绍了粒子群算法的产生背景、基本原理、实现方法及其改进和算法流程。经济负荷分配（Economic Load Dispatch，ELD）是电力系统中一个典型的优化问题，本文分析了电力系统经济负荷分配问题及其数学模型，然后结合一个3机6节点的算例，通过Matlab编程，将改进的粒子群算法应用在该算例的经济负荷分配中。最后将仿真结果与遗传算法和混沌优化算法的优化结果进行比较，分析了粒子群优化算法在处理ELD问题中的优势。

关键词：PSO算法 惯性权重系数 ELD Matlab

0 引言

粒子群优化（Particle Swarm Optimizer，PSO）算法[1]最早是由Kennedy和Eberhart受到人工生命的研究结果启发于1995年提出的，其基本概念源于对鸟群捕食行为的研究。最初是为了在二维几何空间图形中优化模拟鸟群不可预测的运动，PSO算法从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。与

同为基于群体的优化工具的遗传算法相比，PSO算法具有算法简单、容易实现，既适合科学研究又符

合工程应用要求的优势。因而，该算法一经提出，就引起了各方的广泛关注，并在短短的几年时间里涌现出大量优秀研究成果，多种PSO改进算法已广泛应用于函数优化、神经网络训练、模式分类、模糊系统控制等领域[2,3,4]。在电力系统中的应用主要集中于系统无功功率优化、机组经济组合及系统经济运行等优化问题。

电力系统的负荷经济分配是电力系统经济调度中非常重要的问题，也是电力系统中典型的优化问题。传统的解决方法包括拉格朗日乘数法[5]和动态规划法[6]等经典数学方法。前者借助拉格朗日因子建立增广目标函数，按照等耗量微增率及Kuhn-Tucker条件确定各机组承担的有功负荷，这种算法要求机组的输入输出特性曲线是单调增加的，许多工业算法还要求耗量微增曲线是线性或分段线性的，而实际的发电机组一般不满足这些条件（如阀点效应的影响），因此，这种方法的求解结果往往不精确。后来提出了动态规划法，该方法将问题分成若干步，每步增加1个机组，使得从第1步到该步目标函数最小，然后递推进行下1步，直至完成对所有机组的寻优。该方法的求解精度依赖于每步机组输出功率的增量，为达到可接受的精度，必须考察各机组运行可行域的所有可能情况，这样势必导致维数的急剧增加，造成计算量的剧增。近年来，随着人工智能技术不断发展，混沌算法[7]、遗传算法[8]、粒子群算法[9]等智能算法被广泛应用于ELD问题的求解中，取得了一定的效果。

1 粒子群优化算法

1.1 粒子群优化算法的基本原理

粒子群优化（Particle Swarm Optimizer，PSO）算法是基于群体智能的演化算法[10]。Reynolds对鸟

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群飞行的研究发现，鸟仅仅是跟踪它有限数量的邻居，但最终的整体结果是整个鸟群好像在一个中心的控制之下，即复杂的全局行为是由简单规则的相互作用引起的。PSO算法源于对鸟群捕食行为的研究，一群鸟在随机搜寻食物，如果这个区域里只有一块食物，那么找到食物的最简单有效的策略就是搜寻目前离食物最近的鸟所在的区域。

PSO求解优化问题时，问题的解对应于搜索空间中一只鸟的位置，称这些鸟为“粒子”。每个粒子都有自己的位置和飞行速度（决定飞行的方向和距离），还有一个由被优化函数决定的适应值。各个粒子记忆、追踪当前的最优粒子，在解空间搜索。每次迭代的过程不是完全随机的，如果找到较好解，将以此为依据来寻找下一个解。

PSO算法初始化为一群随机粒子，即随机解，然后通过迭代找到最优解。在每一次迭代中，粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己：第一个是粒子本身所找到的最优解，叫做个体极值点（用pbest表示其位置）；另一个极值是整个种群目前找到的最优解，称为全局极值点（用gbest表示其位置）。另外，也可以不用整个种群而是用其中一部分作为粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。

1.2 粒子群优化算法的实现

粒子群优化算法首先在搜索空间和速度空间随机初始化粒子群，即确定粒子的初始位置和初始速度[11]。设初始群体的大小为N，D维搜索空间的第i个粒子的位置和速度可分别表示为：

Xi?[xi1,xi2,,xiD] (1)

Vi?[vi1,vi2,,viD] (2)

通过评价粒子的适应值，确定第k代每一个粒

子所经过的具有最好适应值的位置（个体最佳位置pbest）以及群体中所有粒子所经过的具有最好适应值的位置（全局最佳位置gbest）分别表示为

Pi?[pi1,pi2,,piD] (3) Pg?[pg1,pg2,,pgD] (4)

设f(x)为目标函数，则粒子i的个体最佳位置为

P?1)???Pi(k)iff(Xi(k?1))?f(Pi(k))i(k?Xi(k?1)iff(X(k?1))?f(P(5)

ii(k))群体所有粒子经历过的全局最佳位置为

Pg?{[P1(k),P2(k),,PD(k)]|f(Pg)?min(f(P1(k),P2(k),,P (6)

D(k))}在PSO算法的每一次迭代中，粒子通过跟踪pbest和gbest来更新自己的速度和位置，更新的具体公式如下

Vij(k?1)?Vij(k)?c1r1[Pij(k)?X (7)

ij(k)]?c2r2[Pgj(k)?Xij(k)] Xij(k?1)?Xij?Vij(k?1) (8)

i?1,2,,Nj?1,2,,D

式中，c1和c2为正的加速常数，也叫学习因子，通常在0~2之间取值，r1和r2为0~1之间的随机数。另外，通过设置粒子的速度区间[-vmax，vmax]和位置范围[xmin，xmax]，可以适当地限制粒子的运动。 学习因子c1和c2描述的是在调整粒子运动的过程中，粒子自身飞行经验和其他粒子飞行经验所起作用的权重关系。如果c1=0，那么就不存在粒子自身的飞行经验，这种情况下可能收敛速度很快，但对于复杂问题，会陷入局部最优的情况；如果c2=0，就不存在群体中其他粒子的飞行经验，这样即便种群规模再大，也只是一些单个的个体行为，缺乏相互的联系，这样很难找到最优解。因此，合理的设置参数值，对快速有效地找到最优解是至关重要的。

以上是最初的PSO算法的实现方法，采用此方法进行二维空间搜索时的示意图如图1所示。图中，xk为粒子上一次迭代的搜索位置，xk+1为移动后的搜索位置；粒子的移动速度为三个速度的矢量和，它们分别是：vk——上一次迭代的移动速度，vpbest——基于粒子个体极值（pbest）的移动速度，vgbest——基于粒子全局极值（gbest）的移动速度，三个速度矢量组合成vk+1，即当次迭代的移动速度。迭代过程中为每一维的粒子指定一个最大速度vmax，

如果|v|>vmax，则强制|v|=vmax，以限制粒子在可行域内进行搜索。c1和c2分别调节粒子向个体最好

第 6 期 李伟迪：改进的粒子群优化算法及其在电力系统经济负荷分配中的应用 3

粒子和全局最好粒子方向飞行的补偿，若太小，则粒子可能远离目标区域；若太大，则会导致粒子突然向目标区域飞去，或飞过区域目标。合适的c1和c2可以使算法加快收敛且不易陷入局部最优[11]。

图1 PSO算法中某点的搜索示意图

Fig.1 Concept of modification of a searching point by PSO

1.3 改进的粒子群优化算法

最初的PSO算法收敛快，效率高，但也存在着精度较低、易发散等缺点。PSO在寻优过程中，由于所有的粒子都向最优解的方向飞去，所以粒子易于趋向同一化（失去了多样性），使得后期收敛速度明显变慢，并且所能达到的精度也比遗传算法要低。如果加速系数、最大速度等参数设置太大，粒子群可能错过最优解，造成算法不收敛。

也就是说，最初的PSO算法由于缺少速度的控制机制，虽然能很快地达到最优区间，但是处于最优区间后，却不能调整速度的步长继续搜索以获得更好的解。

为了解决这个问题，很多学者对如何提高PSO算法的性能作了大量研究，并提出了许多改进措施。文献[12]中Shi提出了一种基于惯性权重法的改进粒子群优化算法。他在粒子速度更新公式的先前速度项前加入一个权重参数，称为惯性权因子ω，粒子速度更新公式变为

Vij(k?1)??Vij(k)?c1r1[Pij(k)?Xij(k)]?c2r2[Pgj(k)?Xij(k)](9)

上述方法是运用惯性权重来控制前面速度对当前速度的影响。惯性权因子ω反映了粒子先前速度在多大程度上得到保留，联系粒子先前的状态，起到了平衡全局和局部搜索的能力。Shi等研究发现，ω较大时，全局搜索能力强，收敛速度快，但难以得到精确解；ω值较小时，局部搜索能力强，

解的精度高，但收敛速度慢，容易陷入局部最优解。不同的参数设计，对函数收敛过程和收敛速度有明显影响，但现有的研究在这一方面还有所欠缺。

目前采用较多的是Shi提出的线性递减去惯性权因子，即随着迭代的进行，惯性权因子ω的值由最大值ωmax线性减小到最小值ωmin，其具体公式为

?(iter)?(?max??min)?Itermax?iter (10) Iter??minmax式中，ωmax和ωmin分别为ω的最大和最小值，iter为当前迭代次数，Itermax为最大迭代次数。 1.4 改进的粒子群优化算法的流程

采用粒子群优化算法进行优化求解时，其基本流程如图2所示[9]。其算法步骤如下：

Step1：初始化群体微粒（群体规模为N），包括随机位置和速度，并将每个粒子的原始位置设置为xi0，原始速度设置为vi0。

Step2：求出每个粒子的适应值。

Step3：对每个粒子，将其适应值与其经过的最好位置xi(Pi)时的适应值作比较，如果较好，则将其作为当前的最好位置xi(Pi)。

Step4：根据公式（9）（8）更新粒子的速度和位置。

Step5：检查各变量是否溢出各自的取值范围。如果高于其上限值，或低于其下限值，则用相应的边界值代替。

Step6：根据终止条件判定是否终止迭代。如果满足终止条件则终止迭代，否则返回Step2继续迭代过程。

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开始初始化群体粒子求每个粒子的适应度计算个体、群体最优位置更新粒子的速度和位置是否满足终止否条件是算法结束

图2 PSO算法流程图

Fig.2 Flow chart of PSO algorithm

2 电力系统经济负荷分配及其数学模型

2.1 电力系统经济负荷分配问题

电力系统经济负荷分配（Economic Load Dispatch，ELD）是电力系统中一个典型的优化问题，其目标是在不改变现有设备的条件下，通过在系统内合理分配各台发电机组所承担的负荷，使总的发电费用最低。当所有机组都在最经济状态下运行时可以带来巨大的经济效益，它是经济调度中非常重要的问题。

传统解决ELD的方法包括等耗量微增率法、拉格朗日法、动态规划法等经典数学方法，这些算法要求应用对象有良好的数学特性，而实际的经济负荷分配问题具有高维性、非凸性、离散型和非线性等特点，这使得经典数学方法处理ELD问题的效果不理想。近年来，随着人工智能技术不断发展，学者们也尝试用混沌算法或者遗传算法来解决这类问题，但这些算法在算法结构、计算时间和精度

等方面仍然存在许多不足之处。

PSO算法较之遗传算法和混沌算法，概念简单，易于实现。因而，在短短的几年时间内，PSO算法已经得到了广泛的关注和发展，并在很多领域中都得到了应用。本文将采用带惯性权重的PSO算法来解决电力系统的经济负荷分配问题，并将其结果与遗传算法和混沌优化算法进行比较。 2.2 电力系统经济负荷分配的数学模型[9] 2.2.1 目标函数

ELD问题在数学上可以表示为满足若干个等式约束和不等式约束的非线性规划问题，其求解目的是为了使价值函数最小。价值函数为

nC(Pi)??Fi(Pi) (11)

i?1式中：C为价值函数；n为系统内发电机总数；Pi为第i台发电机的有功功率；Fi(Pi)为第i台发电机发出有功功率Pi时，单位时间所需的能源耗量，即耗量特性。

发电机耗量特性曲线常用发电机有功功率的二次函数近似表示，即

F2i(Pi)?aiPi?biPi?ci (12)

式中，ai、bi、ci为常数。 2.2.2 约束条件

经济负荷分配的约束条件主要考虑发电机的运行约束条件和功率平衡约束条件。 1） 发电机的运行约束条件

Pmini?Pi?Pmaxii?1,2,n (13)

式中，Pimin 、Pimax分别为第i台发电机有功功率

的最小值和最大值。

2） 功率平衡约束条件

?nPi?PL?PS (14)

i?1式中，PL为系统内的总负荷；PS为系统的总网损。 2.2.3 发电机耗量曲线的阀点效应

实际运行中，在机组热运行测试阶段，发电机的有功功率从最小值缓慢增加到最大值的过程中，机组的耗量曲线是起伏的，相当于在机组的耗量曲线上叠加1个脉动效果。造成这种起伏的原因是汽

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轮机的调节汽门随着发电有功功率的增大而依次开放所形成的，当上一级汽门已全开而下一级汽门刚开时，蒸汽的流通会因节流效应产生损失，而导致耗量增大，曲线向上凸起，这种现象称为阀点效应，如图3所示。

F/MJh-14级阀3级阀1级阀2级阀5级阀

图3 计及阀点效应的机组耗量曲线

Fig.3 Generator consumption curve considering the effect

of valve point

阀点效应可以表示为

Ei?gisin(hi(Pmini?Pi)) (15)

式中，gi、hi为常数。

3 采用改进粒子群优化算法进行电力系统负

荷的经济分配

3.1 算例情况

本文要分析的算例采用文献[13]中的3机6母线系统的计算实例，分析过程中考虑阀点效应，不考虑系统的网损。各发电机耗量特性及有功功率极限值如下表所示。

表1 各发电机耗量特性及有功功率极限值

Tab.1 Consumption characteristics and active power

limitation

机组 ai bi ci gi 1 0.001 56 7.92 561 300 2 0.001 94 7.85 310 200 3 0.004 82 7.97 78 150 机组 hi Pimax Pimin 1 0.031 5 100.0 600.0 2 0.042 0 100.0 400.0 3

0.063 0

50.0

200.0

采用改进粒子群优化算法进行负荷经济分配时，使用Matlab软件进行编程仿真。各参数取值分别为：粒子数目N=10，迭代次数D=100，惯性权

重ω=0.729，c1=c2=2，r1，r2为0到1之间的随机数。

分析过程中分别考虑两种情况： Case1:发电机承担的总负荷PL=500MW； Case2:发电机承担的总负荷PL=850MW。 3.2 算例分析

经过Matlab[14]编程仿真，得到的优化结果如表2所示，总费用随着迭代次数变化的趋势如图4和图5所示。对比两种情况可以看到，由于阀点效应的存在，使系统总耗量增加，同时它的增加又是非线性的，使得各机组之间的负荷功率分配发生了较大变化，所以优化过程如果不考虑阀点效应的影响，结果将很不准确。

表2 PSO算法的Matlab仿真结果

Tab.2 Matlab simulation result of PSO algorithm

项目

P1/ P2/ P3/ P∑/ Cost∑/ MW

MW MW MW $ Case1

199.9 200.2 99.9 500 5265.1 Case2

499

250.6

100.4

850

8241.4

图4 情况1的总费用趋势 Fig.4 Total cost trend of case1

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