胡适耕 实变函数答案 第三章A(4)

则F(x)在(0,?)L?可积，于是用L?控制收敛定理，以及简单计算可知

??0k???sinx?n?1?n?1 (??1)． ??limfk(x)?lim?fk(x)?lim?2??2x00k??k??k??e??n?1n?1n?1n?132．设?X??,f?M(X),证 如果c?0，则由已知

??Xfnd??c(n?1,2,??),则f??A,a.e.．

?Xfd??0?f?0,a.e.，取A?X\\X(f?0)，所

以f??A,a.e.．如果c?0，验证?X(f?1)?0．若?X(f?1)?0，则

?X(f?1)(f?1)d????0．

对任给的k，c?=

??Xfk?1??X(f?1)fk?1??X(f?1)f(fk?1)

X(f?1)f(f?1)(1?f????fk?1) (f?1)(1?f?f2???fk?1)?k?(f?1)

??X(f?1)X(f?1)?k???(k??)

这与已知矛盾. 同理?X(f?1)?0，取A?X(f?1)，则f??A,a.e.． 33．设0????,xf(x),xf(x)?L?0,??,则?(s)???1??0xsf(x)dx在??,??内连续.

证 设f(x,y)?xf(x)，则X??0,???,Y???,??，

y?x?f(x)f(x,y)????xf(x)???x?f(x)x?(0,1]，于是令g(x)???x?(1,??)?xf(x)11x?(0,1]

x?(1,??)由已知，xf(x),xf(x)?L??，?g(x)?L?0,??，且对几乎所有的?0,x?X,f(x,y)对y在(?,?)内连续，由定理3.3.6（ii），

得?(s)?

??0xsf(x)dx在y点连续，因此?(s)在??,??内连续.

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34．求

??0e??xsinxdx(??1)． x解 令I(?)???0e??xsinxsinxdx,f(x,?)?e??x，f?(x,?)??e??xsinx xxf?(x,?)??e??xsinx?e??x?g(x),g(x)?L1(0,?)由3.3.6（iii），知：

I???????e??xsinxdx?0???1?e??xsinx?1?2e??xcosx???01?2??0e??xsinxdx

∴I(?)?'??0?(e??xe??x(?sinx?cosx)sinx)dx?1??2?0??1

1??2∴I(?)?arctg∴I(?)?arctg1?1?c，又I(0)??.

sinx?dx??c?0. x2?35．求

?????e?xcos?xdx.

2解 令I(?)??????e?xcos?xdx,F(x,?)?e?xcos?x

2222?F?(x,?)??xsin?xe?x?xe?x?g(x),g(x)?L1(R) ?I'(?)??F?(x,?)dx???xe?xsin?xdx

????????2??????x212?e?xsin?x??ecos?xdx

??2??2 ???2???4??e?x2cos?xdx???2I(?)

∴I(?)?ce又∵I(0)???2

?????e?xdx???c?e0?c∴c??．∴I(?)??e2??24.

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136．设f,fn?L?)(X),A,An?X可测(n?1,2，?(A?An)?0，则

?Anfnd???fd?.

A 说明：本题显然原所与条件不足——如果fn与f预先没有关联关系，是不能推导出结论成立的．例如，不妨就设A?An?X (n?1,2,?)，当然已有

?(A?An)????0?0 (n??)，但完全可能fn与f的积分值无极限关

系．为此，我们给出本题的一种改造方案并解答如下．

改造题：设f,fn?L1(X),fn?fa.e. 且fn?f．另有A,An?X可测

(n?1,2,?)，满足?(A?An)?0 (n??)，求证?fnd???fd?．

AnA 证 由于

?Anfnd???fd??A?Anfnd???fd???fd???fd?

AnAnA??Anfn?fd???Anfd???fd???AAnfn?fd???An\\Afd???A\\Anfd?

??fn?fd???XA?Anfd?

那么，由于所补给条件：fn在f的控制下收敛，就有

?Xfn?fd??0

(n??)，另外，由于f?L1(X)，依据L?积分的绝对连续性，当?(A?An)?0 (n??)，综上已证得?fnd???fd?．

AnA37．设f,g在?a,b?上R可积，在?a,b?的某稠子集上f?g，则

?baf(x)dx??g(x)dx.

ab 证 (ⅰ) 设A1?{x?X:f(x)在x连续}，f?R[a,b]?f,a.e.连续，

c则?A1c?0，同理，设A2?{x?X:g(x)在x连续}，则?A2?0，

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cccc再令B?A1?A2，则?B??(A1?A2)??(A1?A2)?0．

?x0?B?A1?A2，由已知，存在某子集C在?a,b?中稠，且对每一

t?C,f(t)?g(t)，则存在tn?C,tn?x0,f(tn)?g(tn)，又注意到x0是f，

g的连续点，故f(x0)?limf(tn)?limg(tn)?g(x0).

nn所以对每一x0?B,有f(x0)?g(x0)，即f?g,a.e,x??a,b?.

(ⅱ) 由于f,g在?a,b?上R可积，故f,g?L?a,b?，且?R??baf??L??f，

ab?R??ag??L??ag．由命题3.2.4知f综上所述，

bb?g,a.e,则(L)?f?(L)?g．

aabb?baf(x)dx??g(x)dx．

ab38．设f在?a,b?上有界，其间断点集D只有可数个极限点，则f在?a,b?上R可积.

证 因为D??D\\D???D?，其中D\\D?表示D的孤立点集，它可数．由已知，D?可数，故?D\\D???D?可数，从而D可数，故?D?0．所以f在?a,b?上几乎处处连续，则f在?a,b?上R可积．

39. 设fn(n?1,2?)在?a,b?上R可积，fn?f，则f在?a,b?上R可积.

证 因fn?f故???0,?N,当n?N时，?x?[a,b]有

fn(x)?f(x)??，故有fn(x)???f(x)?fn(x)??，即f在?a,b?上有界．

又fn(n?1,2?)在?a,b?上R可积?fn在?a,b?上几乎处处连续．

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即对取定的x1，对上述的??0,???0,x1?x2??时，有

f(x1)?f(x2)?f(x1)?fn(x1)?fn(x1)?fn(x2)?fn(x2)?f(x2)?3?

∴f在?a,b?上几乎处处连续，则f在?a,b?上R可积.

40.设?,??0，研究函数f(x)?x??sinx??在?0,1?上的可积性．

解 ∵?x?(0,1),1x??sinx?? ?x1??x?x,lim?x?0????1

∴①若??1, 则

?0xdx收敛，从而???0x??sinx??dx 绝对收敛，

1由定理3.4.2知f?L?0,1?．

②当??1时，

???10x??dx发散，

1sin2x??1cos2x????????? ∴xsinxdx??. ????0x2x2x又?xsinx??令g(x)?x???1sinx??, F(x)??1x， g(t)dt，显然g(x)在?0,1?连续（0是瑕点）

又F(x)=

?1xt???1sintdt =

??1??1xsintdt????=

1??cost??1x?2?．

∴当????1???0，即????1时，

?10x??1??g(x)dx收敛，

也即

?10x??sinx??dx收敛．

故当1?????1时，③又

?10f(x)dx条件收敛．

?10x???1sinxdx????10sinx??dx???lim(?cosx??)??01?

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