概率论与数理统计作业
班级 姓名 学号 任课教师
第一章 概率论的基本概念
教学要求：
一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．
二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式． 三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，
掌握计算有关事件概率的方法．
重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算．
难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理
解与应用；独立性的应用．
练习一 随机试验、样本空间、随机事件
1.写出下列随机事件的样本空间
(1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和；
(2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标． 解：（1）??（2）??（3）????2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；125；6；7；…
2?;
?;
??x,y?x?y2?1
?2.设A,B,C三事件，用A,B,C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B与C不发生，记为 ABC； （2）A,B,C至少有一个发生，记为A?B?C；
1
(3) A,B,C中只有一个发生，记为ABC?ABC?ABC； (4）A,B,C中不多于两个发生，记为ABC．
3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设Ai={第i次取到黑球}，i?1,2,叙述下列事件的内涵： （1）A1A2=?第1次、第2次都取得黑球（2）A1?A2=?第1次或地2次取得黑球（3）A1A2=?第1次、第2次都取得白球（4）A1?A2=?第1次或地2次取得白球（5）A1?A2=?第1次取得黑球，且第?.
?. ? . ?.
2次取得白球?.
4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记A1={击毁第1个发动机}；A2={击毁第2个发动机}；A3={击毁驾驶舱}；试用A1、A2、A3事件表示B?{飞机被击
落}的事件.
解：B?A1A2?A3
练习二 频率与概率、等可能概型（古典概率）
1.若P(A)?P(B)?P(C)?B、C都不发生的概率.
14,P(AB)?P(BC)?0, P(AC)?316, 求事件A、
解：由于 ABC?AB, 则 0?P?ABC??P?AB??0, 得P?ABC??0,于是 P?A?B?C??P?A??P?B??P?C??P?AB??P?AC??P?BC??P?ABC?
?14?14?14?316?916
所以
PABC?1?P?A?B?C??1???916?716.
2.设P(A)?p,P(B)?q,P(A?B)?r,求P(AB).
解：因为 PAB?P?A?B??P?A?AB?,且AB?A,则PAB?P?A??P?AB?.
2
????又
P?AB??P?A??P?B??P?A?B??p?q?r,
所以
PAB?P?A??P?AB??p??p?q?r??r?q.
??
3.已知在8只晶体管中有2只次品，在其中任取三次，取后不放回，求下列事件的概率： （1）三只都是正品；（2）两只是正品，一只是次品.
解：（1）设A?｛任取三次三只都是正品｝，则基本事件总数n?C83?56,A包含基本事件数m?C63?20,于是 P?A??2056?514.
（2）设B?｛任取三次两只是正品，一只是次品｝，则基本事件总数n?C83?56，B包
1?30,于是P?B??含基本事件数m?C62C23056?1528.
4.在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号
码，（1）求最小号码为6的概率；（2）求最大号码为6的概率．
3解：（1）设A?｛最小号码为6｝,则基本事件总数n?C10?120,A包含基本事件数
m?C4?6,于是P?A??26120?120.
3（2）设B?｛最大号码为6｝，则基本事件总数n?C10?120,B包含基本事件数
m?C5?10,于是P?B??210120?112.
5.一盒中有2个黑球1个白球，现从中依次取球，每次取一个，设Ai={第i次取到白球}，
i?1,2,3. 求P(Ai), i?1,2,3.
解： P?A1??P?A2??P?A3??132?1;
?13?3?2,
132?1?13?2?1.
6.掷两颗均匀的骰子，问点数之和等于7与等于8的概率哪个大？ 解：样本空间基本事件总数n?6?6?36,设
A1?｛点数之和等于7｝，A2?｛点数之和等于8｝,则
A1?｛?1,6?;?6,1?;?2,5?;?5,2?;?3,4?;?4,3?｝，A1包含基本事件数等于6 ；
3
，A2包含基本事件数等于5 ; A2?｛?2,6?;?6,2?;?4,4?;?3,5?;?5,3?｝于是 P?A1??636?16 ; P?A2??536 .所以P?A1??P?A2? .
7.一批产品共100件，对其抽样检查，整批产品不合格的条件是：在被检查的4件产品中至少有1件是废品．如果在该批产品有5﹪是废品，问该批产品被拒收的概率． 解：设A?｛被检查的4件产品至少有1件废品｝，则PA???C95C10054?0.812;所以
P?A??1?PA?0.188 .
??8.将3个球随机放入4个杯子中，求杯子中球数的最大值为2的概率．
解：基本事件总数n?4?4?4?43 ，设A?{杯子中球数最大值为2}，则A包含的基
11C3?36(3个球任取两个，然后4个杯子任取1个放入，再对1个球在本事件数m?C32C43个杯子中任取一个放入)，于是P?A??
3643 .
练习三 条件概率
1.甲、乙两班共有70名同学，其中女同学40名．设甲班有30名同学，而女生15名．求
在碰到甲班同学时，正好碰到1名女同学的概率．
解：设A?{碰到甲班同学}，B?{碰到女同学}，则P?A??P?BA??P?AB?P?A?1570307015303070; P?AB??1570,于是
???0.5 .
2.箱子里有10个白球，5个黄球，10个黑球．从中随机地抽取1个．已知它不是黑球，求它是黄球的概率．
解：设A?{任取一个不是黑球}，B?{任取一个是黄球}，则
P?A??1525?35, P?B??525?15;
又B?A ,则P?AB??P?B? ,于是
P?BA??P?AB?P?A?1?35513?
3.某人有5把钥匙，其中2把能打开房门.从中随机地取1把试开房门，求第3次才打开房门的概率.
解：设Ai?{第i次能打开门} ，i?1,2,3;则 A1A2A3?{第3次才打开门}，于是由乘
4
法公式有
PA1A2A3?PA1PA2A1PA3A1A2?????????35?24?23?15 .
4.假设某地区位于甲、乙二河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区就遭受水灾．设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1，乙河流泛滥的概率为0.2.当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3.求（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河泛滥时甲河流泛滥的概率.
解：设A?{某时期甲河泛滥}，B?A?{某时期乙河泛滥}，则
P?A??0.1, P?B??0.2, P?BA??0.3
于是
P?AB??P?AB?P?B??P?A?P?BA?P?B??0.1?0.30.2?0.15
P?AB??P?B?P?AB??0.2?0.15?0.03
P?A?B??P?A??P?B??P?AB??0.1?0.2?0.03?0.27
5. 甲、乙两车间加工同一种产品，已知甲、乙两车间出现废品的概率分别为3﹪、2﹪，加工的产品放在一起，且已知甲车间加工的产品是乙车间加工的产品的两倍．求任取一个产品是合格品的概率．
解：设A?{任取一个为甲生产的产品}，B?{任取一个产品为废品}，则
P?A??23,PA???13,PBA?3%,PBA?2%
??????由全概率公式有
P?B??P?A?P?BA??PAPBA????23?310013?2100?275
6.设甲袋中有3个红球及1个白球.乙袋中有4个红球及2个白球.从甲袋中任取一个球（不看颜色）放到乙袋中后，再从乙袋中任取一个球,求最后取得红球的概率．
解：设A?{从甲袋中任取一个球为红球}，B?{最后从乙袋中任取一个球为红球}，则
P?A??34,PA???14,P?BA??5734,PBA????144747;
由全概率公式
P?B??P?A?P?BA??PAPBA??????57??1928.
7.玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机的一次性抽取
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