河北联合大学2012级研究生
学院：研究生学院 专业：建筑与土木工程 学号：2012205103 2012205104 2012205114 姓名：胡晔 李学莲 周向楠 成绩：
f(k)(x)?S(k)(x),k?0,1,2,f?(xk)?S?(xk)??f??(xk)?Mk.hkhMk?kMk?1?f[xk,xk?1], 36这里f[xk,xk?1]为一阶均差，其误差为
f??S???f???S???1(4)fh3,?24
3(4)?fh2,?8（4）数值微分的外推算法
利用中点公式计算导数值时f?(x)?G(h)?对f(x)在点x做泰勒级数展开
f?(x)?G(h)??1h2??2h4??,
1[f(x?h)?f(x?h)]. 2h其中?i(i?1,2,?)与h无关，利用理查森外推对h逐次分半，若记G0(h)?G(h)，则有
h4mGm?()?Gm?1(h)2Gm(h)?,m?1,2,? m4?1根据理查森外推方法，误差为
f'(x)?Gm(h)?O(h2(m?1)).
由此看出当m较大时，计算是很精确的。考虑到舍入误差，一般m不能取太大。
2. 经典的《数值微分》方法中点方法。
二、《数值微分》方法哪个好？（方法比较）？
1. 《数值微分》方法的优缺点分析
1）：中点方法的优点是公式的精度较高，而缺点是从舍入误差的角度来看h很小时，
f(a?h)与f(a?h)接近，直接相减会造成有效数字的严重损失。
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2）：插值型数值微分法的优点是可以建立高阶的数值微分公式，缺点是即使
Pn(x)与f(x)P?(x)的近似度非常好，导数f?(x)与n在某些点上的差别仍旧可能很大，因而，在应用数值微
分公式时，要重视对误差的分析。
3）：三样条型数值微分法的优点是可以求非节点处的1—2阶导数，精度高，缺点是要求预知边界条件，要解三对角方程组，比较复杂。
4）数值微分的外推算法的优点是加速的效果很明显，缺点是倘若在外推的过程中的某一步出现截断误差的首项系数为零，则继续使用上述办法进行外推会得到出错误的结果，而且由于q?0，故而外推次数不宜过多，否则会引起计算的不稳定性。 2. 最好的方法是还是中点方法。
第三章 算法的应用
一、 《数值微分》方法怎么用？（程序设计）？ 1. 一般程序设计
mathematic
2. 举例验证
计算f(x)?ex在x?0.5点的前10阶导数的值，把结果以表格的形式列出。 f[x_] := Exp[x^3];
dtable = Table[{n, D[f[x], {x, n}] /. x -> 0.5}, {n, 1, 10}]; TableForm[dtable, TableAlignments -> Center, TableDirections -> Row]
运行结果：
3n fn(0.5) 1 2 3 4 5 0.8499 4.0368 14.9257 62.8233 371.552 6 7 8 9 10 n fn(0.5) 2116.56 13929.5 101710 766171 6329570 二、《数值微分》方法用哪好？
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1. 《数值微分三点公式》方法在给排水专业的应用
拉格朗日法研究流体的运动中，通过照相机拍摄同一标记物在不同时刻的位置，由不同时刻的位置研究质点速度的问题。
2. 《数值微分》方法在你了解的其他领域的应用
电路震荡、化学反应及生物群体的变化等。
第四章 算法展望
数值微分就是用离散的方法近似地求出函数在某点的导数值，关于数值微分已经有许多求解方法，但这些方法都有各自的局限性，并且关于高阶导数的近似逼近的方法的研究相对较少。近几年数学家有提出了两种求解高阶数值微分的新方法，并给出了高阶导数近似逼近的误差估计。方法一是利用Tikhonov正则化方法，通过构造一个五次样条函数研究了不等距分布下的高阶数值微分问题。由于在讨论中的采样取值是随机的，使得该方法具有较大的实用性。方法二是在等距分布的条件下，基于三次样条差值函数的三弯矩算法，通过利用节点处弯矩的加权和近似计算区间中点处的二阶导数。该方法简单易懂，并且具有比用三次样条差值函数求二阶数值微分更高阶的计算精度。基于数值微分计算方法在各个领域的重要作用，在众多学者的努力下，更为完善的方法必将继续出现，更为简单精确的解决数值微分的方法的出现及应用必将指日可待。
第五章 学习思考
一、《数值微分》相关的问题（我的思考）
通过对本节的学习，可否自己出题，并用多种方法求解？
二、 我的课题作业
1、地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是
cS?a?21?()2sin2?d?,0a
?这是a是椭圆的半径轴，c是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记h为近地点距离，H为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则
a?(2R?H?h)/2,c?(H?h)/2.
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km)，远地点距离H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。 解：
R?6371,h?439,H?2384
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从而有
a?(2R?H?h)/2?7782.5c?(H?h)/2?972.5cS?4a?21?()2sin2?d?0a?
k 0 1 2 I?1.564646
S?48708(km)T0(k) T1(k) T2(k) 1.564640 1.564646 1.564646 1.564648 1.564646 1.564646 即人造卫星轨道的周长为48708km 2、证明等式 nsin?n????33!n2??55!n4?
试依据nsin()(n?3,6,12)的值，用外推算法求?的近似值。
n解： 若f(n)?nsin, n11又sinx?x?x3?x5?3!5!?此函数的泰勒展式为
??
f(n)?nsin?n]
?1?1??n[?()3?()5?n3!n5!n????33!n2??55!n4?Tn(k)??
当n?3时, nsin?n?2.598076
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当n?6时, nsin?n?3 ?3.105829
当n?12时, nsin由外推法可得 n 3 6 9
故??3.14158
?nT0(n) T1(n) T2(n) 2.598076 3.000000 3.105829 3.133975 3.141105 3.141580 3、求如下数值微分公式的系数，使其对次数尽可能高度的多项式精确成立。
f''(x0)?a1f(x0?h)?a2f(x0)?a3f'(x0)，导出该数值微分公式的余项表达式。
解：
令f(x)?1,x,x2,分别代入（1）中，使数值微分公式精确成立，得
?a1?a2?0? ?a1(x0?h)?a2x0?a3?0?a1(x0?h)2?a2x02?a3x0?2?解上述关于a1,a2,a3的方程组，得a1?故f''(x0)?222 ,a??,a??23h2h2h22f(x?h)?f(x)?f'(x0) 00?2?hh22设余项R?f''(x0)?2?f(x0?h)?f(x0)??f'(x0)?kf''(?),令f(x)?x3,代入上式，得
hh3226x0?2?(x0?h)?x03???3x02?3!k
?hh?h从而，导出该数值微分公式的余项表达式为R??f''(?)。
3f(x2)?2（fx1）?f(x0)h244?f(?),??(x,x),f(?)?M，计算的误差不超过4、设f''(x1)?022h1224?10?k11?k)4时，可使计算二阶倒数的中心差商公式的截断误差?10，试证明：当h取hopt?(M2
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