第一章线性空间与线性映射1(2)

?1??0??0??1?n都是R的基 。称e1???,e2???,????????0???0?

?0??0?,en???为Rn和Cn的自然基底。

?????1??an?1xn?1,a0,a1,,an?1?R?，则

例1 P[x]n??f(x)f(x)?a0?a1x?1,x,x2,?,xn?1为P[x]n的基。

注：n次多项式的全体不构成线性空间，因为不封闭。

二、基与基的关系，向量在两组基下的坐标关系

定义7 设V(F)的两组基为?1,?2,?,?2?,,?n和 ?1?an1?n?，令 ,?n??1??a11?1?a12?2???????a??a??1n12n2?n

?ann?na1n?? ?ann??则

?,?2?, ??1即

?????1,?2,,?n,?n??a11????an1?,?2?, ??1称

?????1,?2,,?na1n?? ?ann??,?n?A

?a11A?????an1为由基?1,?2,

?,?2?,,?n到?1?的过渡矩阵。 ,?n命题8 基底过渡矩阵A可逆。

?,?2?,证明 因为?1?线性无关，所以 ,?n?x1??x????2??0 ,?n?????xn???1?,?2?,只有零解，即

??1,?2,

,?n?Ax?0

６

只有零解。又因为?1,?2,可逆。

所以Ax?0，即Ax?0只有零解，所以A,?n线性无关，

?,?2?,A?1为由基?1?到?1,?2,,?n,?n的过渡矩阵，这是因为

??1?,?2?,

定理1 设?1,?2,??A?1???1,?2,,?n,?n?

,?n到

?,?2?,,?n和?1?是V的两组基，且A为由?1,?2,,?n?,,?n?的过渡矩阵， V中向量x在基?1,?2,,?n和?1?,?2?,,?n?下的坐标分别?1?,?2?a1??a1???a??a??22为??与??，则 ????????????an????an????a1??a1?a??a???2??A?2? ??????????a????n??an?

?,?2?,证明 ??1?????1,?2,,?n,?n?A，而

?a1??a?,?n??2?

??????an?????a1?a?????2? ,?n????????an? x?a1?1??an?n???1,?2,??1??x?a1?,??n????1?,?2?an???1,?2,?a1???a??2,?n?A??

????????an?

因为?1,?2,,?n线性无关，故

７

???a1??a1?a??a??2???A?2? ???????????an?????an?例2 设

?1??0??1??,???1?,???0? ?1??1??2??3??????0???1???1???1??0??0??,????1?,????0? ?1???1??2??3??????1???1???1???,?2?,?3?的过渡矩阵。 是R3两个基，求由?1,?2,?3到?1??1??1?2(?1??2??3)????2解 由于??2 ?1??3??(??1??2??3)2?即

1??10??22???11?? ?,?2?,???1 ??13?[?1,?2,?3]?22??1?1??0?2??2?所以

?1?2?1A???2?1??2?1?0??2?1?1

?21??02???,?2?,?3?构成方阵，所以也有 在上例中，由于?1,?2,?3和?1?,?3???[?1,?2,?3]A ??1?,?2 ８

?1?2?1?,?2?,?3????A?[?1,?2,?3]?1??1?2?1???21?0??2?1?1

2?1??02??例3 证明dimRm?n?mn。

证明 用Eij表示Rm?n中i,j位置是1其余都是0的矩阵，i?1,2,j?1,2,,n。即

,m，

?1k?i,l?j， Eij?(ekl)m?nekl???0其它因为对任意A?(aij)?Rm?n，有

A?a11E11?a12E12??a21E21?a22E22??a1nE1n ?a2nE2n

?am1Em1?am2Em2? ???aijEij，

i?1j?1mn?amnEmn

且E11,E12,,E1n,,Emn线性无关，所以 E11,E12,,E1n,E21,E22,,Emn

是Rm?n的基，且

dimRm?n?mn

例4 在P[x]3中取定两组基Ⅰ：x2,x,1，Ⅱ：2,(x?1)2,(x?1)2，求由Ⅰ到Ⅱ

的过渡矩阵，并求f(x)?2x2?8x?2在两组基下的坐标。

?2?2?解 ?(x?1)2?x2?2x?1，故得

?(x?1)2?x2?2x?1?９

?011?? [2,(x?1)2,(x?1)2]?[x2,x,1]?02?2????211??所以由Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵

?011?? A??02?2????211??故

?2?? 8f(x)?2x2?8x?2?[x2,x,1]??????2???2??。 8得f(x)在基x2,x,1下的坐标为??????2???2?? 8 f(x)?2x2?8x?2?[x2,x,1]??????2???011??2???8? 02?2 ?[2,(x?1)2,(x?1)2]???????211?????2????2?? 3 =[2,(x?1)2,(x?1)2]??????1????2??。 3得f(x)在基2,(x?1)2,(x?1)2下的坐标为??????1???1注：上式f(x)在基2,(x?1)2,(x?1)2下的坐标也可用定理1得到。

§1.4 线性子空间的相关结论

在§1.2中我们已经知道线性空间V(F)的非空子集W是V的子空间?W按

原来两种运算封闭。下面讨论子空间之间的运算关系、维数定理等。

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