浅谈函数列收敛与一致收敛的关系及差异

淮阴师范学院毕业论文（设计）

摘 要：本文从定义、定理、集合的角度，通过正反对比的例题，论述函数列收敛、一致收敛、内闭一致收敛间的相互关系及其差异

关键词 ： 函数列；收敛；一致收敛；内闭一致收敛

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Abstract：This paper from the definition, theorem, the set point of view,

through the contrast of examples, discusses the function series convergence, uniform convergence, in close relationship and difference between the uniform convergence

Keyword：Function series; convergence; uniform convergence; uniform convergence

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目 录

1 引言···················································4 2 函数列收敛与一致收敛的定义·····························4 2.1 函数列收敛············································5 2.2函数列的一致收敛······································5 3 论述函数列收敛与一致收敛的差异·························5 4 阐述函数列收敛与一致收敛的相互关系·····················9 4.1从定理的角度阐述······································10 4.2从集合的角度阐述·····································11 结论····················································12 参考文献················································13 致谢····················································14

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1引言

收敛与一致收敛理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学的难点之一。特别是函数列的收敛与一致收敛问题，在各个版本的数学分析教科书中往往都把函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题混在一起，导致学生往往难以透彻的理解这个概念。而且证明时学生常常都用\??N\语言硬套，各个版本数学分析中对这个概念也仅仅是一般性叙述，例题很少，尤其是正反例题更少。所以本文为了让学生更好掌握这一重要概念将从定义、定理、集合的角度，系统论述函数列收敛与一致收敛及内闭一致收敛间的相互关系及差异，让这部分内容能够独立建立

2 函数列收敛与一致收敛的定义

2.1函数列收敛： 设 f,f,…,f,… （1） 12n是一列定义在同一数集E上的函数，称为定义在E上的函数列。（1）也可以简单地写作：

??f???或f,n=1,2,…

nn?设x∈E，以x代入（1）可得数列

00 f(x),f(x),...f(x),... （2）

1020n0若数列（2）收敛，则函数列（1）在点x收敛，x称为函数列（1）的收敛点。若数列（1）

00在数集D?E上每一点都收敛，则称（1）在数集D上收敛。这时D上每一点x，都有数列?f?的一个极限值与之对应，由这个对应法则所确定的D上的函数，称为函数列（1）

???n?的极限函数。若把此极限函数记作f,则有

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limfn??n(x)?f(x), x∈D

或fn，x∈D. (x)?f(x), （n??）

函数列极限的??N定义是：对每一个固定的x∈D ，任给正数?，恒存在正数N（注意：

一般说来N值的确定与?和x的值有关，所以也用N（?，x）表示它们之间的依赖关系），使得当n>N时，总有 fn(x)?f(x)

??使函数列?f?收敛的全体收敛点的集合，称为函数列?f?的收敛域.

???n????n?2.2函数列的一致收敛

设函数列?f?与函数f定义在同一数集D上，若对任给的正数?，总存在某一正数N，

?n?使得当n>N时，对一切x∈D，都有 fn(x)?f(x)

则称函数列?f?在D上一致收敛于f，记作

???n? fn，x∈D. (x)??f(x) （n??）

由定义看到，如果函数列?f?在D上一致收敛，那么对于所给的?，不管D上哪一点x，

???n?总存在公共的N（?）（即N的选取仅与?有关，与x的取值无关），只要n>N，都有

fn(x)?f(x)

3 论述函数列收敛与一致收敛的差异

函数列?f?收敛定义中是对每一个固定的x∈D，根据给定的正数?找N，这样找到的N

???n?不仅与?有关且与x∈D的取值有关。但函数列?f?一致收敛定义中是对一切的x∈D，

???n? 5

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