徐州工业职业技术学院
讲稿
教师姓名 授课日期 刘连新 授课班级 2011-3-30 授课内容
授课形式 授课时间 讲授 90分 数控班 §3.5 曲率 知识目标 使学生理解曲率定义，掌握曲率的计算公式。 教学目能力目标 通过学习，加强对学生理解能力和分析能力的培养，会计算曲率。 标 德育目标 提高学生学习探索的兴趣。 教学重点 曲率的计算 教学难点 对曲率定义的理解 更新、补充、删节内容 补充了曲率圆的内容和习题 使用教具 多媒体或直尺 课外作业 习题1、4 课后体会
授 课 主 要 内 容 及 教 学 课 堂 设 计
组织教学 学习目标：
1.理解弧微分的概念 2.会算曲线的曲率
3.理解曲率圆的概念及其在实际生活中的应用。 授课内容
导入：在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度．例如，船体结构中的钢梁，机床的转轴等，它们在荷载作用下要产生弯曲变形，在设计时对它们的弯曲必须有一定的限制，这就要定量地研究它们的弯曲程度．
问题：设工件内表面的截线为抛物线y?0.4x(图8)．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
一、弧微分 （作为曲率的预备知识，先介绍弧微分的撅念）
设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数．在曲线y?f(x)上取固定点
2[引入] （5分钟） [讲授] （25分钟）
M0(x0y0)作为度量弧长的基点(图1)，并规定依x增大的方向作为曲线的正向．对曲
线上任一点M(x,y)，规定有向弧段M0M的值s(简称为弧)如下：s的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段M0M的方向与曲线的正向一致时s?0，相反时s?0．显然，弧s?M0M是x的函数：而且s(x)是x的单调增加函数．下面来求s(x)s?s(x)，的导数及微分．
设x,x??x为(a,b)内两个邻近的点．它们在曲线y?f(x)上的对应点为M,M?(图 1)，并设对应于x的增量?x，弧s的增量为?s．那末
??s?M0M??M0M?MM?.
于是
??2?s2MM?2MM?2MM?()?()?()??x?xMM?(?x)2
[学生练习
??22MM?2(?x)?(?y)MM?2??y2??()??()1?()?，
MM?MM???x(?x)2????sMM?2??y???()??1?()2? ?xMM??x??教师辅导]
（5分钟）
? MM?令?x?0取极限，此时，M??M，这时lim?1，得
M??MMM?
ds ??1?y?2．由于s?s(x)是单调增加函数，从而根号前应取正号，于是有 弧
dx 2微分公式：ds?1?y?dx．
[启发讲授] （25分钟）
二、曲率及其计算公式 我们直觉地认识到；直线不弯曲，半径较小的圆弯曲得比半径较大的圆厉害些，而
2其他曲线的不同部分有不同的弯曲程度，例如抛物线y?x在顶点附近弯曲得比远离
顶点的部分厉害些． 为此首先要讨论如何用数量来描述曲线的弯曲程度．
在图2中可以看出，弧段M1M2比较平直，当动点沿这段弧从M1移动到M2时，
切线转过的角度?1不大，而弧段M2M3，弯曲得比较厉害，角?2就比较大．即：等长
弧段，切线转角越大，弯曲越厉害。
但是，切线转过的角度的大小还不能完全反映曲线弯曲的程度．例如，从图3中可
以看出，两段曲线M1M2及N1N2尽管切线转过的角度都是?，然而弯曲程度并不相
同，短弧段比长弧段弯曲得厉害些．由此可见，曲线弧的弯曲程度还与弧段的长度有
关．
按上面的分析，我们引入描述曲线弯曲程度的曲率概念如下．
设曲线C是光滑，在曲线C上选定一点M0作为度量弧s的基点．设曲线上点M对应于弧s，在点M处切线的倾角为?(这里假定曲线C所在的平面上已设立了xoy坐标系)，曲线上另外一点M?对应于弧s??s，在点M?处切线的倾角为????(图4)
那么，弧段MM?的长度为?s，当动点从M移动到M?时切线转过的角度为
???．
我们用比值
???s?，即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MM?的平均弯曲
???. ?s程度，把这比值叫做弧段MM?的平均曲率、并记作K，即K?曲率：当?s?0时，上述平均曲率的极限叫做曲线C在点M处的曲率，记作K，即
K?limd???.也可以表示为：K?.（对比平均速度引进瞬时速度的方法）
?s?0?sds 注： 直线不弯曲，圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大.
yT? y
O
M?sM?D?x图5 a??M?T?MO图6
????x
设圆的半径为a，由图6可见在点M、M?处圆的切线所夹的角??等于中心角
[举例] （5分钟）
?sd?1?s??1?.因为点M是，于是MDM?．但?MDM???r?,从而K?dsrr?s?sr圆上任意取定的——点，上述结论表示圆上各点处的曲率都等于半径r的倒数就是说，圆的弯曲程度到处一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲得越厉害．
1[学生练习 ，这
教师点评] r（10分钟）
[结合图形 教师讲解] （5分钟）
[教师引导 学生解决] (8分钟)
在一般情况下，设曲线的直角坐标方程是y?f(x)，且f(x)具有二阶导数(这时
f?(x)连续，从而曲线是光滑的)．因为tan??y?，
求导：sec2?d?y??y??d?， ???y??，22?dxdx1?tan?1?yy??2?ds?1?ydx. 根据曲率K的表达式，有 故;d??.又 dx21?y?K?y??(1?y?)232
例2 :计算等边双曲线xy?1在点(1，1)处的曲率． 解: 由y?121??得 y???. 因此 y?,y?23x?xx22x?1??1,y???2. 2x?1?2．
得曲线xy?1在点(1，1)处的曲率为 K?练习：书后习题2
?1?(?1)?32例3: 抛物线y?ax?bx?c上哪一点处的曲率最大? 解: 由y?ax?bx?c，得 y??2ax?b,y???2a，
得 K?222a?1?(2ax?b)?23 只要分母最小，K就最大，x??2b时，K的分母2a最小，因此，抛物线在原点处的曲率最大． 三、曲率圆与曲率半径
设曲线y?f(x)在点M(x,y)处的曲率为K(K?0).在点M处的曲线的法线
1??.以D为圆心?为半径作圆(图7)，这个K圆叫做曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心D叫做曲线在点M处的曲率中心，曲
上，在凹的一侧取—点D，使DM?率圆的半径?做曲线在点M处的曲率半径．
[总结] （2分钟）
按上述规定可知，曲率圆与曲线在点M有相同的切线和曲率，且在点M邻近有相同的凹向．因此，在实际问题中，常常用曲率圆在点M邻近的—段圆弧来近似代替曲线弧，以使问题简化．
例3： 设工件内表面的截线为抛物线y?0.4x(图8)．现在要用砂轮磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
2
解： 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于曲线上各点处曲率半径中的最小值．由本节例2知道，抛物线在其顶点处的曲率最大，也就是说，抛物线在其顶点处的曲率半径最小．因此，只要求出抛物线y?0.4x在顶点O(0，0)处的曲率半径．由
y??0.8x,y???0.8， 而有 y?x?02?0,y??x?0?0.8．把它们代人公式(3)，得 K=0.8
因而求得抛物线顶点处的曲率半径 ??1?1.25 K所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长．即直径不超过2.50单位长．
对于用砂轮磨削一般工件的内表面时，也有类似的结论，即选用的砂轮的半径不应超过这工件内表面的截线上各点处曲率半径中的最小值． 总结：曲率定义，曲率的计算公式，曲率圆及应用。 课外作业：P119-1,4
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