3.04 非周期信号的频谱分析─傅里叶变换(2)

X

信号与系统

R(ω ) = 2∫ fe (t ) cosωtdt0

∞

关于ω 的偶函数

X(ω ) = 2∫ fo (t ) sinωtdt0

∞

ω 关于 的奇函数关于ω 的偶函数

F(ω ) =

[R(ω)]2 + [ X(ω)]21

φ(ω ) = tg

f (t ) 偶函数 函数， F(ω) 为实函数，只有 R(ω) ,相位 ± π 分量为零 (奇分量为零) f (t ) 奇函数 F(ω)为虚函数，只有 X(ω),相位 ± π 函数， 2 分量为零 (偶分量为零) X

X(ω ) R(ω )

ω 关于 的奇函数

信号与系统

三.傅里叶变换的物理意义1 ∞ f (t ) = F(ω)e jω t dω F(ω) = F(ω) e jφ (ω ) 2π ∫∞ 实函数 = 1 ∞ F(ω)e jφ (ω )e jω t dω 2π ∫∞ 欧拉公式1 ∞ = ∫∞ F(ω) cos[ω t +φ(ω)]dω 积分为0 积分为 2π 1 ∞ +j ∫∞ F(

ω) sin[ω t +φ(ω)]dω 2π

=

∫ F(ω) cos[ω t +φ(ω)]dω π1∞ 0∞

=∫

F (ω)

0

π

dωi cos ω t +θ (ω)

X

信号与系统

解释f (t) = ∫∞

F (ω)

0

π振幅

dωicos ωt +θ (ω)

余弦信号 1 无穷多个振幅为无穷小 F(ω) dω 的连续余弦信号 π ,频域范围 : 之和 频域范围 0 → ∞ ∞ F(ω) 1 ∞ jω t f (t ) = F(ω)e dω = ∫ dω e jω t ∞ 2 2π ∫∞ π 1 F(ω) dω 的连续指数 无穷多个幅度为无穷小 2π , , 信号之和占据整个频域 ω : ∞ →∞;X

求和

信号与系统

四.傅里叶变换存在的条件∫∞ ∞

f (t ) dt = 有限值

(充分条件 )

f 即 (t )绝对可积

所有能量信号均满足此条件。 所有能量信号均满足此条件。, δ 当引入 (ω )函数的概念后允许作变换的函数类 . 型大大扩展了

X

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