中国传媒大学
学年第二学期期末考试试卷A
参考答案及评分标准
考试科目：高等数学A 下 课程编码： 123002 考试班级： 2010电气信息类、光电、游戏 考试方式： 闭卷 一、填空题（将正确答案填在横线上，本大题共4小题，每题4分，共16分） 1、极限lim答：4。
2、若函数z 2x2 2y2 3xy ax by c在点( 2,3)处取得极小值－3，则常数a,b,c之积abc ______ 。 答：30。
3、f(x,y)为连续函数，则二次积分 dy
01
1y
ysin2xxy 1 1
x 0y 0
。
f(x,y)dx
交换积分次序后为
答：
10
dx
x0
2
f(x,y)dy。
(x 1)n
n
4、幂级数 ( 1)
n 1
n 1
的收敛域 。
答：(0,2]。
二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共4小题，每题4分，共16分）
1、设u f(x,y)在极坐标：x rcos ,y rsin 下不依赖于r，即u ( )，其中 ( )有二阶连续导数，则(A)
1r
2
u x
2
2
u y
2
2
=（ A ）。
2sin2 r
2
( )； (B)
1r
2
( ) ( )
；
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(C)
1r
2
( )
2sin2 r
2
( )
； (D)
1r
( )。
2、设曲面 是上半球面：x2 y2 z2 R2(z 0)，曲面 1是曲面 在第一卦限中的部分，则有（ C ）。
(A) xdS 4 xdS； (B) ydS 4 xdS；
1
1
(C) zdS 4 xdS； (D) xyzdS 4 xyzdS。
1
1
3、用格林公式计算( x2y)dx xy2dy （ B ），其中C为圆周x2 y2 R2，
C
其方向为逆时针方向。
(A)
R2
4
(B)
R2
4
(C) R；
4
(D)
2 R3
3
。
4、级数
n
1 1 co n 1
n
（常 0）（ C ）。
（A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）敛散性与 有关。
三、解答下列各题（本大题共3小题，共21分）
1、（本小题7分）求过平面4x y 3z 1 0和x 5y z 2 0的交线且过点
P(1,1,1)的平面方程。
解：做过平面4x y 3z 1 0和x 5y z 2 0的交线的平面束
4x y 3z 1 λ(x 5y z 2) 0，
将P(1,1,1)代入平面束，解得 所求平面为4x y 3z 1
23x 32y 26z 17 0。
57
57
， 4分
(x 5y z 2) 0，化简得
7分
2、（本小题7分）设z z(x,y)由方程 (cx az,cy bz) 0确定，其中 (u,v)具有连续偏导数，证明a
z x b
z y
c。
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证明：令F(x,y,z) (cx az,cy bz)，则
(cx az,cy bz)，Fy (x,y,z) c 2(cx az,cy bz)， Fx (x,y,z) c 1
(cx az,cy bz) b 2(cx az,cy bz) 3分 Fz (x,y,z) a 1 z x
Fx Fz z y
c 1 b 2a 1
ac 1 b 2a 1
，
z y
Fy Fz
c 2 b 2a 1
， 5分
a
z x
b
bc 2 b 2a 1
c。 7分
3、（本小题7分）
在椭圆抛物面z x2 2y2上求一点，使曲面在该点处的切平面垂直于直线
2x y 0
，并写出曲面在该点处的法线方程。
y 3z 0
解：曲面上点(x,y,z)处的切平面法向量 n 2x,4y, 1
n平行于直线的方向向量S 3, 6,2 ,
2x3 4y 6
12
2分 6分
代入曲面方程，得x
34
34
,y
34
,z
2716
, 点
3327
,, 4416
x y 6
34
z 2
2716
法线方程：
3
。 7分
四、解答下列各题（本大题共3小题，共23分） 1、（本小题7分）
计算 (y2 3x 6y 9)d ，其中D是闭区域:x2 y2 R2 。
D
解：利用对称性，并设x rcos ,y rsin ，则
D
(y 3x 6y 9)d 1
2 0
R0
2
D
(y 9)d
2
12
D
(y x)d 9 d
D
22
5分
2
d
rdr 9 R
32
4
R
4
9 R 。
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2
7分
2、（本小题8分）设Ω是由z
x y
22
及z 1所围的有界闭区域，试计算
x ydV
22
。
解：令x rcos ,y rsin ,z z，则0 2 ,0 r 1,r z 1， 3分
x ydV
22
2 0
d dr rdz
r
11
2
2 0
d (1 r)rdr
1
2
6
。 8分
3、（本小题8分） 计算I 答：I
C
xyzds
，其中C的方程为x 2t,y 3sint,z 3cost,0 t
2
。
C
xyzds
20
(18tsintcost)4 9dt 4分
18
20(tsintcost)dt 18
t4
18
20
t2
sin2tdt
6分
18[ cos2t sin2t]
2
94
。 8分
五、解答下列各题（本大题共3小题，共24分）
1、（本小题8分）求 (y2 z)dydz (z2 x)dzdx (x2 y)dxdy，其中 为锥面
z
x y(0 z h)的下侧。
2
2
解：补平面 1:z h的上侧，则 (y2 z)dydz (z2 x)dzdx (x2 y)dxdy
(y
1
2
z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy
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