食堂排队模型建模

关于食堂排队模型的建模

数学建模报告

关于食堂排队的数学模型

建立及其求解

关于食堂排队模型的建模

目录

一、前言********************************************3 二、内容摘要****************************************3 三、关键词******************************************4 四、模型的建立与分析********************************4 （1）调查数据*************************************4 （2）模型假设*************************************7 （3）模型建立*************************************7 （4）模型求解*************************************8 （5）模型分析************************************10 五、优化设计方案**************************************12 六、总结**********************************************12 七、参考目录******************************************13 八、MATLAB源程序*************************************13

关于食堂排队模型的建模

关于食堂排队的数学模型建立及其求解

前言

相信每一位有过求学经历的人，对于饭点时如潮水的人流疯狂挤向

食堂排队打饭的情形并不陌生。然而好不容易挤入食堂，面对着长冗的队伍以及其缓缓向前挪动的速度，选择继续排队或者离开食堂，这每个人，我想，都曾在自己饥肠辘辘时踌躇过。此时，作为一名食堂的经营者一定考虑过通过何种改变来留住就餐人员，保证营业额，而最直接的方式就是增加窗口，分担其他窗口的服务量，缓解压力，减少队伍的长度，但是一旦窗口数量过多就会造成资源浪费。如何优化就是此次数学建模的主要内容，本文以作者所在的北京航空航天大学的五食堂为例，建立数学模型，通过作者的调查和计算，进而优化食堂排队方案，解决食堂拥挤和成本的问题。

内容摘要

1、 在做此次建模中作者查阅的不少参考书籍，队伍食堂排队

模型多用排队论中方法，而且学生到达食堂的规律遵循泊松分布。作者以为学校食堂就餐学生到达食堂的规律更遵循是的正态分布。

2、 在此次建模中，作者采用的数据多为亲身实地调查，符合

作者的生活实际。

3、 在确定最合适窗口数为9个后，作者又对其采用灵敏度分

析，分析其经济学价值。

关于食堂排队模型的建模

关键词

数学建模、排队、正态分布、概率论、灵敏度

模型的建立与分析

北航在节假日除特许情况外，学生上课数量较少，一定程度上学生在食堂就餐较为分散，不会造成排队就餐等拥挤现象，作者仅对北航工作日，即周一至周五时的食堂情况进行调查分析，而且由于五食堂较大，能够容纳较多的座椅，作者发现基本没有打完饭的同学找不到桌子用餐的情况。所以作者以北航五食堂作为调查的样本，建立数学模型，进行问题分析。

调查数据

1.作者实地统计了6月1日北航五食堂中午就餐服务时间，即10点30分至13点30分的就餐人数分布情况。共统计了1957人，见下表：

北航五食堂中午就餐人数分布

其中具体到每十分钟的人数如下：

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作图如下：

其中人数在12:00到达顶峰。人数基本服从正态分布，其密度函数为

a, (t)

1

(t a)2

2

2

e

，图像如下

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设10:30时t=0，以分为一个单位，则

a 90， 28.3

（具体计算过程如下：

P( 30/ t 30/ ) 1369/1957 0.6995，

P(t 30/ ) 1

通过查表可得：

2831957

0.8553

(1.06) 0.8554

所以通过概率论只是可得：

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30

则

1.06

，

28.3）

2.此外，作者通过网络的投票调查发现同学们在就餐排队时，当队伍人数超过平均最低满意人数C=12时，会选择离开队伍，重新寻找队伍排队甚至离开食堂，见下表：

食堂排队打饭，当所在排队人数超过多少人时，你会选择放弃排队，离开食堂

3.作者还发现食堂的服务员工一般平均服务以为同学打饭共需 t 20s 0.33。

4.食堂从11:45起出现排队现象 模型假设

1. 学生单独道来食堂就餐是相互独立的，没有必然的联系； 2. 学生对于食堂饭菜的口味没有特殊的偏好；

3. 食堂各个窗口的服务质量和数量相同，饭菜的供给量充足。 4. 学生排队时自动选择人少的窗口。 模型建立

关于食堂排队模型的建模

基于以上的假设，我们建立的模型中学生来到食堂基本符合

a 90， 28.3的标准正态分布，来到食堂后学生自动寻找人

数较少的窗口人进行排队，等待服务直至轮到自己。 其中模型中指标有： 学生就餐总人数：A=1957 学生来到食堂的密度函数：

(t 90)

2

a, (t)

170.94

e

1601.78

，

平均到达时间：a 90， 到达时间的方差：

28.3 ，

食堂服务人员服务单个同学平均需要时间： t 20s 0.33 学生平均最低满意队伍人数：C 12 起始窗口数量：N0 6 窗口数量：N

队伍中排队人员的数量：Q 模型求解

首先我们要确定食堂出现排队的时刻：当在某一时刻，如果食堂在一个服务时期 t内，服务总人数即等于窗口数，小于在此时间段内进入食堂的人时，出现排队。

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在 t时间内，当来到食堂人数多于6人时，开始出现排队现象，即：

90 t28.3

90 t 0.33

28.3

61957

0.0031

() ()

通过查询正态分布表可得：t 69.1，也就是在时间为11：40时出现排队现象,计算得出的数据基本与作者调查数据一致。 在11:40到12:00，也就是70<t<90是时间内，就餐学生总人数

A' A*[ (

90 9028.3

) (

90 7028.3

)] 1957*[ (0) ( 0.71)] 1957*0.2611 511

则Q

5116

200.33

25 12，也就是说在70<t<90时间内窗口数无法满足

需求，在一定时间后，队伍长度的积累量将超过学生最低满意满意队伍人数：C 12

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