不规则截面制动蹄的鼓式制动器制动尖叫的研究(3)

x 1 2 11 1N 11 1N 21 2N 21 2N ，

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不规则截面制动蹄的鼓式制动器制动尖叫的研究

M和K为(4N+2)×(4N+2)矩阵；子矩阵M11和K11为2×2矩阵而M和K中其他对角矩阵为N×N矩阵。置矩阵的其他元素在附录B中表出。

制动系统的动态稳定性可以由方程(17)特征值的实部决定。当摩擦系数μ为零时矩阵M和K是对称的，但是当μ不为零时K则是非线性的。K的非线性可以引导正实部影响系统的负阻尼比；而负阻尼比导致系统偏离的震动。因此，系统将变得不稳定以致尖叫的产生。

5.等价参数

本文仅通过一对圆环的第二类弯曲模型执行对3.1kHz频率的尖叫的模拟。因此与3.1kHz频率尖叫相联系的鼓式制动器的等价参数将展现与本文中。

圆环的截面区域和弯曲刚度将不同于通过制动鼓的截面尺寸直接估算而得到的结果。圆环的两个参数应当作为制动鼓的模型特征表现出来的等价参数进行估算。尽管，这两个等价参数不能同时获得。当圆环的固有频率已知时，两个等价参数中的一个得到确定，则另一个等价参数也将得到确定。这是因为截面区域和弯曲刚度分别适用于于动能和势能，而固有频率由动能和势能共同决定。相应的，圆环的等价参数由以下程序获得。

(i)通过FE analysis估算制动鼓的参考动能；参考动能不包括制动鼓的固有频率。参考动能用于替代动能，因为通过FE analysis估算得到的制动鼓的固有频率并不精确等同于真实的制动鼓的固有频率。图7（a）展示了用于估算的模式2d的参考动能。

(ii)估算圆环的第二类弯曲模型的参考动能为截面区域的一个函数Ad。

(iii)通过两个参考动能的实际值获得Ad，通过以上程序估算，应当是两个相同的值。

图7.自由支撑状态下通过FE analysis提取的制动鼓和制动蹄的模态振形：（a）制动鼓的2d模式；（b）

制动蹄的2s模式。

表3

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(iv)通过弯曲刚度的函数EId估算圆环的第二类弯曲模型的固有频率。

(v)获得的圆环模型和真实的制动鼓的EId必须是一个相同的数值。真实的制动鼓的固有频率在表1中给出。

这个程序同样应用到拱门的等价参数A1,A2,I1和I2。然而这些参数不能从这个程序中直接获得，因为这些参数不是常量而是线性函数。因此，我们引进了比例因子rA和rI；通过rA与制动蹄的真实横截面面积相乘来估算A1和A2,而通过rI与制动蹄的真实横截面惯性矩相乘来估算I1和I2。因为两个制动蹄的形状是一样的，所以仅用引入两个比例因子。这些决定拱门等价参数的比例因子可以通过应用上面所提到的程序获得。图7(b)显示了模式2s用于估算参考动能。

这个等效参数的概念同样需要建立合理的圆环与拱门的成对系统。因为成对系统的模态特征取决于圆环或拱门在系统中动能与势能的占有数量。表3给出了圆环与拱门的参数，包括以上程序所涉及的等价参数。

6.结果和应用

6.1.特征值分析结果

方程(17)的特征值分析体现为制动系统的动态稳定性。因为在本研究中对3.1kHz尖叫进行分析，所以两种模式，i.e.，用于估算一对圆环与拱门的第二类弯曲模型出示在图8和图9中。如4.2节所述，理想圆环模态振形用于圆环，而近似模态振形用于拱门；在方程(10)中n用3，在方程(11)和方程(12)中N用20。80个多项式作为两个拱门的模态振形的试探函数。因此M与K在方程(17)中为82×82矩阵。

图8显示了通过特征值分析获得的随着摩擦系数变化的固有频率和真实部件的特征值。如图8(a)所示，两条不一样的固有频率曲线相交于摩擦系数0.37处。因为特征值在摩擦系数小于0.37时为幅度不等的虚数，而在0.37至1之间为幅度相等的复数。复数的正实部与负实部如图8(b)所示，正实部使得系统不稳定。因此，摩擦系数0.37为影响尖叫的一个临界值。在不稳定区域，因为复数特征值影响，系统为一个复杂的模态振形，因此，系统的运行会趋于波动。

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图8.通过特征值分析获得的随着摩擦系数变化的固有频率和真实部件的特征值

(a)固有频率；(b)真实部件特征值

图9.动态模态振形：(a)不稳定系统；(b)稳定系统。数字表示运动的步骤。

图9显示了当稳定系统有着自身固定的模态振形时，不稳定的系统所产生的波动。Lang et al. 和 Hulten [11, 17]对制动尖叫的波动进行了实验研究。结果是被迫波动造成了系统的不稳定产生。同样可以看到稳定系统中拱门的模态振形与自由支撑拱门状态下的是不一样的，但是它又取决于圆环的模态振形。

6.2.特征值分析结果

特征值的正实部通过不断变换每个参数来估算来找到其对与尖叫有关的参数产生的影响。参数在±20%范围内，摩擦系数在0.37处进行估算。

在图10(a)中可以看到正实部随着参数从0到-20%范围变化而从0开始增长。这意味着应当减少Ad和rI来减少系统的不稳定性。相反，图10(b)显示应当增加EId , rA 和 Elin来减小不稳定性。换句话说，增加

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截面面积和减小制动蹄的弯曲刚度对减小尖叫是有利的，而对于制动鼓则产生相反的结果。图11显示了几何参数对尖叫的影响。如图所示，增加β1减小β2可以减小尖叫，而γ1和γ2分别具有同样效果。角距δ有一个与原始值接近的最佳值。这些参数对尖叫产生的影响会随鼓式制动器的类型和尖叫的频率变化而变化。

通常公认波动容易发生在轴对称结构，而通过增加不对称性进行抑制。质量块依附在制动鼓上增加不对称性，而这些块的影响在摩擦系数为1.0时被分析，远远高于摩擦系数临界值。当摩擦系数取值远远高于临界值时，系统将变得极为不稳定。附加质量在圆周等距分布以保持制动鼓的平衡。在图12中可以看到当没有4附加质量时，2和3附加质量影响尖叫的程度。因为相对于4来说，2和3把一对圆环模型的固有频率分为两个极为不同的频率。如图8(a)所示，两个频率相差最大的地方，就是临界摩擦系数取值最大的地方。

图10.随(a) Ad , rI 和 (b) EId , rA, Elin变化的特征值的正实部

图11.随集角变化的特征值正实部

6.3.网的部分形状的修改

对于参数的研究我们得到减小尖叫的方法，即增大横截面及减小制动蹄的弯曲刚度。然而，对两个制动蹄的修改不能同时完成。因此，应该尽可能的减小制动蹄的刚度而尽量少的减少截面面积。

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