大一(第一学期)高数期末考试题及答案(2)

q

V V1 V2

(5e2 12e 3)

1

16. 证明：0

f(x)dx q f(x)dx f(x)dx q( f(x)dx f(x)dx)

q

东西不错

q1

(1 q) f(x)dx q f(x)dx

q

f( 1) f( 2)

1 [0,q] 2 [q,1]

q(1 q)f( 1) q(1 q)f( 2)

1

故有：

q

f(x)dx q f(x)dx

证毕。

x

17.

F(x) f(t)dt,0 x

0证：构造辅助函数：。其满足在[0, ]上连续，在(0, )

上可导。F (x) f(x)，且F(0) F( ) 0 由题设，有

0 f(x)cosxdx cosxdF(x) F(x)cosx| sinx F(x)dx

，

F(x)sinxdx 0 有，由积分中值定理，存在 (0, )，使F( )sin 0即

F( ) 0

综上可知F(0) F( ) F( ) 0, (0, ).在区间[0, ],[ , ]上分别应用罗尔定理，知存在

1 (0, )和 2 ( , )，使F ( 1) 0及F ( 2) 0，即f( 1) f( 2) 0.

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