小波变换在图像压缩中应用

科技信息 Ｏ高校讲台。

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２００７年第２４期

小波变换在图像压缩中的应用

李娟

（山东教育学院物理科学与技术系

山东济南２５００１３）

摘要：小渡变换在数字化图象的压缩中起着极其重要的作用。本文在简单阐述小波变换基本理论和Ｍａｌｌａｔ算法基本思想的基础上．着重利用Ｍａｔｌａｂ软件研究了小波变换在图像压缩技术中的具体应用，结合实例给出了具体程序，并对程序进行了详细说明。

关键词：图像压缩；小渡变换；多分辨分析；Ｍａｌｌａｔ算法

１．引言

随着多媒体应用的普及和数字视频技术的发展．以及网络上图像传输的增多，对图像的处理变得越来越重要。图像的数字化是必然的趋势，但是经过数字化的图像所占的数据量相当庞大，而信道带宽和

，

（３）伸自自性：巾（ｔ）ＥＶｆｃ＝｝巾（２ｔ）ＥＶ卜ｌ

（４）平移不变性：牵（ｔ）ＥＶｆ§弗（卜２卜１ｋ）ＥＶｊ，Ｖｋ∈ｚ

（５）斑ｅｓｚ基存在性：存在巾（ｔ）∈Ｖｏ，使得｛巾（２１ｔ—ｋ））ｋ。。构成Ｖｉ的ｍｅｓｚ基。

．

存储空间的限制又给实际应用带来了很大的困难，所以图像压缩已成为现代信息社会急待解决的问题。

小波变换的理论是２０世纪８０年代后期兴起的新的数学分支．素有“数学显微镜”的美称。它是继１８２２年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的研究成果，解决了很多傅立叶变换不能解决的难题。小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理，具有良好的局部化性质，能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性，具有极强的自适应性。因此在图像处理中具有极好应用价值。

２．小波变换基础，

２．１小波（ｗａ＂ｌｅｔ），即小区域的波。小波函数的确切定义为：设霉

在定义中，Ｖｉ对应于２＿分辨率，在有些文献中，Ｖ；对应于２ｊ分辨率，这时，性质（１）和（３）中子空问的下标要做相应的变化。

３．Ｍａ¨ａｔ算法Ｍａｌｌ８ｔ使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Ｍａｌｌ８ｔ快速小波分解和重构算法．它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当。

Ｍａｌｌａｔ算法是将酿Ｒ）上的多分辨分析记为｛｛ＶｊｊＥｚＪ；巾（ｘ）｝，尺度方

程和小渡方程为巾（ｘ）＝、／丁∑ｈ。巾（２ｘ—ｎ）和皿（ｘ）＝、／虿∑ｇＩ＿巾（２ｘ－ｎ）

ＥＺ

ｎ

Ｅ

Ｚ

（ｔ）为一平方可积函数，也即皿（Ｉ）∈Ｌ２（Ｒ），若其傅里叶变换叩（∞）满足条

其中，系数关系是瓯＝（一１）“ｉ．，ｋ∈ｚ，对任意的整数ｊ和ｋ，沿用

】

ｌ

件：ｆ』！剑一ｄ∞＜＊

ＪＨ

记号札（ｘ）＝２争巾（２ｊ—ｎ），扎（ｘ）＝２丁屯（２ｊ—ｋ）

∞

则称９（ｔ）为一个基本小波或小波母函数，并称上式为小波函数的可容许性条件。

２．２连续小波的定义：将小波母函数皿ｍ伸缩因子为ａ．平移因子为ｆ，令其平移伸缩后的函数为皿盯（ｔ），则有：

Ｖｊ＝｛焉忑再ｉｉ云），Ｗｊ＝｛可乃丽歪虿），Ｌ２（Ｒ）键Ｗｊ＝｛瓦万瓦）对于任意信号ｆ（ｘ）∈Ｌ２（Ｒ）引入记号ｑ＝Ｊ。ｆ（ｘ）而（ｘ）ｄｘ，电＝Ｊ。ｆ（ｘ）

尘，＾（ｘ）ｄ】【称为ｆ（ｘ）的尺度系数和小波系数，同时，将ｆ（ｘ）在闭子空间ｖｊ和Ｗｊ上的正交投影记为￡（ｘ）和＆（ｘ），这样

划ｔ）＝ａ‘瞰！＝！－），ａ＞０，Ｔ∈Ｒ

．一ａ

一睾

则称，ｐ。（ｔ）为连续小波基函数。

小波函数多以开发者的名字命名。常用的如图１：

‘（ｘ）＝．互ｑ电＾（ｘ）埚（ｘ）＝．二屯ｑ么（ｘ）

根据空间正交值和分解关系Ｖ泸Ｖ。ｏＷｊ，可得‘＋一（ｘ）＝‘（ｘ）＋昏（ｘ），因

此，信号的尺度变换系数和小波变换系数之间的关系现在可以写成

．．＿。●ｔ

≤田

’，毒

’●§

Ｏ－ｏ●呻Ｉ

１

乙ｃⅢ屯。＾（ｘ）＝三ｃ仙札（ｘ）＋二ｄｊ＾ｑ么（ｘ）

ｋＥ

Ｚ

ｋ

ＥＺ

ｋ

Ｅ

Ｚ

Ｈ铺∥卜渡函数Ｉｏｒｌｅｔ小渡函数

小波变换用于图像编码的基本思想就是把二维图像ｆ（ｘＪ）进行分解后，得到不同分辨率、不同频率的子图像。然后再对子图像做不同策略的量化和编码处理ｏ

４．运用ＭａｔＩａｂ小波工具箱进行图像分解并压缩

根据Ｍａｌｌａｔ算法将函数ｆ（ｘ，ｙ）分解成不同通道成分，每次小波分解将图像分解成四块子图，其中一块对应的称为平滑图像，另三块对应的称为细节图像，也就是说图像经过小波变换后被分割成四个分量：水平边缘、垂直边缘、对角边缘和亮度分量．亮度分量部分还可以继续分解。在变换的每一个层次．图像都被分解成为四个四分之一大

ｄ

ｏ●

●

鼍ｅ”ｒ小液函数

圈１

神卜波函数

●

ｏ●格

ｃｏｉｆ２小渡函败

常用的小渡函数

２．３连续小波变换：将任意吹Ｒ）空间中的函数ｆ（ｔ）在小波基下进行

展开，称这种展开为函数ｆ（￡）的连续小波变换（ＣｏｎｔｉｎｕｅＷａｙｅｌｅｔ

小的图像。这四个图像中的每一个都是由原图与一个基图像内积后。在ｘ和ｙ方向都经过２倍的间隔抽样而成的。对于后继的层次（ｊ＞１），都以完全相同的方式分解而构成四个在尺度上的更小的图像。如图２所示。

∞２

１Ｉ

０１２０３２

Ｔｒａｎ８ｆｏｍ。简记为ＣＶ汀），其表达式为：

州ａ，帕＝姐ｔ），叱（ｔ）＞＝ｉ净Ｊ。ｆ（ｔ）咿（孚）ｄｔ

２．４多分辨分析：空间Ｌ２（Ｒ）的多分辨分析是指构造该空问内一个子空间列｛Ｖ；｝Ⅲ，使其具有以下性质：

（１）单调性（包容性）：…ｃＶ２ｃＶＩｃＶｏｃＶ＿ｌｃＶ－２ｃ…

ｒ－

、

ｏ

．

．Ｉ平滑Ｑ０１７Ｉ平滑∞１

图２

『平滑Ｑ１１平滑Ｑ３ｌ

Ｑ２２

平滑Ｑｌｌ平滑Ｑ３１

平滑凹ｌ

图像的小波分解树结构示意图

（２）逼近性：ｃｌｏ∞｛Ｕｖ，｝－Ｌ‘（Ｒ），ｎＶｆ＝（ｏ）

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