一元二次方程复习要点

一元二次方程复习知识点

一、一元二次方程

①概念：化简整理后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程，

叫做一元二次方程。

★注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

②一般形式：ax+bx+c=0（a≠0，a、b、c是常数），其中a、b、c分别叫做二次项

系数、一次项系数和常数项。☆各项系数要注意包括它前面的符号。 ★注意：a≠0是一元二次方程一般形式的重要组成部分，b、c可以为0。

2

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2

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③特殊形式：ax=0 ax+c =0 ax+bx =0

二、一元二次方程的解：

①概念：使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。

★⑴一元二次方程可以无解，但是有解就一定有两个解。⑵由于一元二次方程只有一个元，因此它的解也叫做一元二次方程的根。

②检验一个未知数的值是否是一元二次方程的解的方法： 。 三、一元二次方程的解法：

①基本思想：通过“降次”将它化为两个一元一次方程。 ②一元二次方程解法：4种。

（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方解一元二次方程的方法。

适用于：能化为x?m)2?n?n?0?? 的一元二次方程。

★温馨提示：①正数的平方根有两个，零的平方根是零，负数没有平方根。

②开平方前先判断，方程的另一边是否为非负数，即能否有平方根。

③一般地，一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有两个根，记作：x1，x2。 （2）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）

将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

2

关键点：（1）把方程变形为ab=0的形式，（a，b 为两个因式）, 则a=0或b=0。

（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差

公式，完全平方公式）等。

（3）配方法：把方程的左边配成与未知数有关的完全平方的形式，右边为正的常数或0，再

利用开平方求解的方法叫配方法。

◆一般步骤：①二次项系数化为1：方程的两边同时除以二次项系数。

②移项：将常数项移到右边，使方程的左边只含二次项和一次项。

③配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方（关键）。 ④将原方程化为x?m)?n?n?02??形式。⑤用直接开平方法解这个方程。

⑷公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0

时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=

(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

★注意：公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要

把原方程化成一般形式，以便确定系数，若二次项系数为负，通常将其化为正数，而且在用

1

公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。

四、一元二次方程根的判别式：

①一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。 Δ=0时，方程有两个相等的实数根。 Δ<0时，方程没有实数根。

②根的判别式有以下应用：

（1）不解一元二次方程，判断根的情况。

（2）根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。●注:逆用一元二次方程根的判别式求未知数 的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。 （3）证明字母系数方程有实数根或无实数根。

★注意：①如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0，切勿丢掉等号。②根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。 ③使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的

一般形式。

五、一元二次方程的根与系数的关系：

①若x1,x2是一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两个根，则有x1+x2=-2bc,x1·x2=. aa②根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系： （1）x1?x2??x1?x2??2x1x2 （2）

222x?x211 ??1x1x2x1x2（3）(x1?a)(x2?a)?x1?x2?a?x1?x2??a2； （4）│x1?x2│=

?x1?x2?2=

?x1?x2?2?4x1x2

③根与系数的关系的应用：

a.已知一根求另一根及未知系数； b.求与方程的根有关的代数式的值；

c.已知两根求作方程；d.两数的和与积,求这两个数；e. .确定根的符号：(x1,x2是方程两根). 六、一元二次方程的简单应用： ①列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。 ★ 关键点：找出题中的等量关系。

A.用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关问题:

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率x为，则一次增长后的值为a?1?x?，两次增长后的值为a?1?x?；（2）若基数为a，降低率x为，则一次降低后的值

2为a?1?x?，两次降低后的值为a?1?x?。

2B.用一元二次方程解与市场经济有关的问题:

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有： （1）每件利润=销售价-成本价； （2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%； （3）销售额=售价×销售量。

例、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少 10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？

2

C.用一元二次方程解与面积的问题; D.数字型问题：

1、 两个数的和是7，积是12，则这两个数是多少？

2、一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，求这个两位数是多少？

E.赛制循环问题：

1 单循环：设参加的球队为x，则全部比赛共 [x（x-1）]场；

2双循环：设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场； 【单循环比双循环少了一半】

例：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人握手10次，有多少人参加聚会？

解：设一共有x人

1x?（x-1）=10解得：x=5 或x=-4（不合题意，舍去）∴一共有5人 2

课外拓展：

十字相乘法：

对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉 帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。 2即：x ＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)

2 例1 分解因式x －6x＋8

解：x 2－6x＋8

=(x－2)(x－4)

2例2分解因式3x －10x＋3

解：3x 2－10x＋3

－3)(3x－1)

2x x p q 2 x px＋qx=(p＋q)x pq x xx －3 －4x－2x3x －1 －9x－x=－10x 例3分解因式5x －17x－12 解：5x 2－17x－12=(5x＋3)(x－4)

5x3

x－20x＋3x

一元二次方程常考典型题

一、填空题： 1、方程2x?1?223x的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ；

22、x2?6x?_____?(x?___)2 ；x2?3x?_____?(x?____)

3、方程x?16?0的根是 ; 方程 (x?1)(x?2)?0的根是 ; 4、如果二次三项式x2?（2m?1)x?16是一个完全平方式，那么m的值是________. 5、如果一元二方程（m?2)x2?3x?m2?4?0有一个根为0，则m= ; 6、已知方程x?mx?3?0的两个相等实根，那么m? ； 7、方程4x2?3(4x?3)中，△= ，根的情况是 . 8、若方程x2?px?q?0的两个根是?2和3，则p,q的值分别为 9、已知方程x?3x?1?0的两根是x1,x2；则：x1?x2? ，

2222211?? 。 x1x210、已知方程x?kx?2?0的一个根是1，则另一个根是 ，k的值是 。

（m?1)x?x?1?0有实数根，则m的取值范围是 ． 11、关于x的一元二次方程

12、已知方程x?kx?2?0的一个根是1，则另一个根是 ，k的值是 。 13、方程(m?2)xm二、选择题：

1．关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ ）

A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5

2．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（ ）（A）－3，2（B）3，-2（C）2，－3（D）2，3 3．已知方程x2?5x?2?0的两个解分别为x1、x2，则x1?x2?x1?x2 的值为（ ）

A．?7 B．?3 C．7 D．3

4. 方程（m2-1）x2+m x -5=0是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是 （ ） （A） m≠1 (B) m≠0 (C )∣m∣≠1 (D) m=±1 5. 若分式

222?2?(3?m)x?2?0是一元二次方程，则m?____

1不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（ ） 2x?2x?m2(A)m≥1 (B)m>1 (C)m≤1 (D)m<1

226.已知m,n是方程x?2x?1?0的两根，且(7m?14m?a)(3n?6n?7)?8，则a的值等

于( ） A．－5 B.5 C.-9 D.9

7. 关于x的一元二次方程x2－6x＋2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）． A．k≤

9 2 B．k＜

9 2 C．k≥

9 2 D．k＞

9 2D．2和3

8. 方程x2?5x?6?0的两根为( ) A． 6和-1

2B．-6和1 C．-2和-3

229．关于x的一元二次方程x?mx?2m?1?0的两个实数根分别是x1、x2，且x1?x2?7，则

(x1?x2)2的值是（ ） A．1 B．12 C．13 D．25

4

210. 若一元二次方程x?2x?m?0有实数解，则m的取值范围是 （ ）

A. m?-1 B. m?1 C. m?4 D.m?21 211. 配方法解方程3x?4x?2?0时，配方正确的是（ ） A (x?12.方程 x2 + x – 1 = 0的一个根是 ( ) A. 1 –5 B.

1?52228210410228)? B (x?)2? C (x?)2? D (x-)? 33399933 C. –1+5 D.

?1?52

13、方程(x?1)(x?3)?5的解是 （ ） A. x1?1,x2??3 B. x1?4,x2??2 C. x1??1,x2?3 D. x1??4,x2?2 14、方程x?2x?3?0的两根的情况是（ ）；

A、没有实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个相同的实数根 D、不能确定 15、一元二次方程(m?2)x2?4mx?2m?6?0有两个相等的实数根，则m等于 （ ） A. ?6 B. 1 C. ?6或1 D. 2 16、以3和?1为两根的一元二次方程是 （ ）；

（A）x?2x?3?0; （B）x?2x?3?0; （C）x?2x?3?0; （D）x?2x?3?0 17、某厂一月份的总产量为500吨，三月份的总产量达到为720吨。若平均每月增率是x，则可

以列方程（ ）；

22222500(1?2x)?720 B、A、500(1?x)?720 C、500(1?x)?720 D、720(1?x)?500

18. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A、ax?bx?c?0 B、

222211222??2x?2x?x?1 C、 D、3(x?1)?2(x?1) 2xxx2?5x?619. 若分式的值为零，则x= .

x?2三、解方程：

222①(2x?1)?9（直接开平方法） ②x?3x?4?0（用配方法）③x?2x?8?0（用因式分解法）

④.(x?4)?5(x?4) ⑤(x?1)?4x ⑥.(x?1)(x?2)?2x?4 ⑦.2x?10x?3 ⑧（x－2）（x－5）=－2 四、选择适当的方法解下列方程：

（1）7(2x?3)2?28； （2）y?2y?399?0 （3）2x?1?25x；

（4）(2x?1)?3(2x?1)?2?0 （5）2（x+3）=x（x+3） （6）x-25x+2=0

5

22222222

（7）x2+12x+32=0 （8）9(6x?4)2?96?0 (9) (x+1)(x+2)=6

五、解答题：

1．已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x?9x?20?0的一个根，求这个等腰三角形的腰长。

2.已知方程ax?4x?1?0；则:①当a取什么值时，方程有两个不相等的实数根？ ②当a取什么值时，方程有两个相等的实数根？③当a取什么值时，方程没有实数根？

3、试证明：不论 为何值，方程 总有两个不相等的实数根。

4、已知关于x的方程

2212x?(m?2)x?m2?0 4⑴ 若方程有两个相等的实数根,求m的值,并求出此时方程的根

⑵ 是否存在正数m,使方程的两个实数根的平方和等于224 ？若存在,求出满足条件的m的值； 若不存在，请说明理由。

5、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利

尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售出2件，

1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

6、学校课外生物小组的试验园地是长18米、宽12米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横

两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为196平方米，求小道的宽． （第3题） 7、某商店4月份销售额为50万元,第二季度的总销售额为182万元,若5、6两个月的月增长率相同,求月增长率.

8、2008年中山市“光彩杯”中学生足球赛共进行了56场比赛（实行主客场制），问有多少球队参加比赛？

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