数理统计习题

数理统计习题答案（前六章）

1．一盒中有五枚纪念章，编号为1，2，3，4，5，从中任取3枚，用X表示取出的纪念章的最大号码，求X的分布律。

解：由题意知：X的取值为3，4，5，

P{X=3}=

15??0.1， 310C5C323P{X=4}=3??0.3，

C5102C4P{X=5}=3?6?0.6

C510故X的分布律为

或 X的分布律为

12C1Ck?1P{X=k}=, k=3,4,5。 3C5X P

0 1 2 0.1 0.3 0.6

2．进行某种试验，成功的概率为3/4，失败的概率为1/4，以X表示直到试验成功所需试验的次数，（1）试写出X的概率分布；（2）求X取偶数的概率。

解：（1）X的概率分布律为

133P{X?k}?()k?1?k，k=1,2,…

444（2）X取偶数的概率

P{X=偶数}= P{ X=2}+ P{ X=4}+…+ P{ X=2k}+…

32333334???????????0.2 242k214444?1151?243．设随机变量X的分布列为：

X P

0 0.4

1 0.2

2 p3

3 0.1

求：（l）p3；（2）P{0

?pk?14k?0.4?0.2?p3?0.1?1，

故 p3=1－0.7=0.3。 （2）P{0

当1≤x<2时，F(x)= P{X≤x}= P{X=0} + P{X=1}=0.4+0.2=0.6；

当2≤x<3时，F(x)= P{X≤x}= P{X=0} + P{X=1}+ P{X=2}=0.4+0.2+0.3=0.9； 当x≥3时，F(x)= P{X≤x}= P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}+ P{X=3} =1。 故X的分布函数为

x?0?0, ?0.4, 0? x?1??F(x)??0.6, 1? x?2?0.9, 2? x?3?? x?3?1,

a, k=1, 2,… ,N N4．设随机变量X的概率分布

P(X=k) =

试确定常数a，共计算E(X)及D(X)。

解：因 故a=1。

?pk?k?1Naaaa?????N?a?1， NNNN11xp?k?E(X)=?kk?NNk?1k?111?E(X)=?xpk??kNNk?1k?12

2k2NNNN?k?k?1N1N(N?1)N?1?；

N22?kk?1N2?1N(N?1)(2N?1)(N?1)(2N?1)?

N66(N?1)(2N?1)N?12N2?1?()?D(X)=E(X)－[E(X)]=

6212

2

2

5. 设随机变量X的概率密度为

?Cx, 0?x?1 f(x)?? 其他?0, 试求：（1）常数C；（2）X落在（0.3，0.7）内的概率；（3）分布函数F(x)；（4）E(X)。

解：（1）?????x21Cf(x)dx??Cxdx?C?[]0??1, 故C=2。

0221 0.7 0.3.722f(x)dx??2xdx?[x2]00.3?0.7?0.3?0.4

0.30.7（2）P{0.3?X?0.7}??（3）当x<0时，F(x)??当0≤x<1时，F(x)??当x≥1时，F(x)?? x ?? x x ??f(x)dx??0dx?0；

?? 0x ?? 0 x ??xf(x)dx??0dx??2xdx?[x2]0?x2；

f(x)dx??0dx??2xdx??0dx?[x2]10?1。

?? 0 1 01 x即 X的分布函数为

?0, x?0?F(x)??x2, 0? x?1

?1, x?1?x312（4）E(X)??xf(x)dx??x?2xdx?[2?]0?。

??033??1 6．设随机变量X的分布函数为

?1?e?x, x?0F(x)??

?0, x?0试求：（1）P{X＜4}，P{X＞1}；（2）概率密度函数f(x)。

解：（1）P{X＜4}=F(4)=1－e-4，

P{X＞1}=1－P{X≤1}=1－F(1)= 1－(1－e -1)= e-1

?e?x, x?0 （2）f(x)?F?(x)??

0, x?0? 7．设随机变量X的概率密度为

0?x?1?x, ?f(x)??2?x,1?x?2

?0, 其他?试求（1）分布函数F(x);（2）数学期望E(X)。

解：（1）当x<0时，F(x)??当0≤x<1时，F(x)?? x ?? x ??f(x)dx??0dx?0；

?? 0x xx2； f(x)dx??0dx??xdx? ?? 02当1≤x<2时，F(x)?? x ??f(x)dx??0dx??xdx??(2?x)dx

?? 0 1 01 xx21x2x1x21x2?[]0?[2x?]1??(2x?)?(2?)???2x?1 222222当x≥2时，F(x)?? x ??f(x)dx??0dx??xdx??(2?x)dx??0dx

?? 0 1 2 01 2 xx21x22?[]0?[2x?]1?1。 22即X的分布函数为

x?0?0, ?2?x, 0? x?1?2F(x)??2

x???2x?1, 1? x?2?2? x?2?1, （2）E(X)??xf(x)dx??xdx???? 0??12 2 1x31x322x(2?x)dx?[]0?[x?]1?1。

338．设随机变量X在（0，5）上服从均匀分布，求方程4t2 + 4Xt + (X+2)=0中，t有实根的概率。

解：随机变量X服从的均匀分布为

?10?x?5?, f(x)??5? 其它,?0, 为使方程4t2 + 4Xt + (X+2)=0中的t有实根的充要条件是

Δ= (4X)2－4×4(X+2)=16X2－16X－32≥0,

即 X2－X－2≥0

则所求概率为

P{ X2－X－2≥0}= P{ (X－2)(X+1)≥0}= P{X≥2且X≥﹣1} +P{ X≤2且X≤﹣1}

513=P{X≥2} +P{ X≤﹣1}=?dx+0=?0.6。

2559．某车间有20台车床独立工作，每台车床开车时间占总工作时间的0.3，又开车时每台车床需用电力是1单位，问：(1)车间需要电力的最可能值是多少单位？（2）若供给车间9单位电力，则因电力不足而耽误生产的概率等于多少？（3）供给车间至少多少单位电力，才能使因电力不足而耽误生产概率小于1％？

解：设X为20台车床中开车的车床数，则X服从二项分布B(20, 0.3)。 （1）因为

(n+1)p=21×0.3=6.3

非整数，故对6.3取整得[6.3]=6，即车间需要电力的最可能值是6单位电力。

（2）所求概率为(查附表2) P{X＞9}= P{X≥10}=?P{X?k}?k?1020k?10?C20k20(0.3)k(0.7)20?k?0.04796

（3）设供给车间m单位电力, 则电力不足的概率为 P{X＞m}= P{X≥m+1}=

k?m?1?P{X?k}??Ck?m?12020k20(0.3)k(0.7)20?k?0.01

对n=20, p=0.3, 查附表2得 m+1=12, 故m=11，即至少供给车间11单位电力。

10．某地胃癌的发病率为0.01％，现普查5万人，试求（1）没有胃癌患者的概率；（2）胃癌患者少于5人的概率。

解：设X为胃癌患者人数，则X服从二项分布B(50000，0.0001)。因为n=50000很大，而p=0.0001非常小，?=np=50000×0.0001=5，故可利用泊松近似公式进行计算。

(1) 所求概率为

P{X=0}=0.9999

(2)所求概率为

P{X<5}=1－P{X≥5}=1－

50000k?550000

≈

?00!e??=e-5=0.00674

?Ck50000(0.0001)k(0.9999)50000?k

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