2018年全国高中数学联赛福建省预赛试题与解答

2018年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛 暨2018年福建省高中数学竞赛试卷参考答案

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分） 1．将正偶数集合?2，，，46L?从小到大按第n组有3n?2个数进行分组：?2?，

6810?，?12，14，16，18，20，22，24?，…，则2018位于第 组. ?4，，，【解析】设2018在第n组，由2018为第1009个正偶数，以及题意，得

?(3i?2)?1009??(3i?2)，

i?1i?1n?1n3(n?1)2?(n?1)3n2?n?1009?即. 解得正整数n?27.

22∴ 2018位于第27组.

2．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c. 若a?2，b?3，C?2A，则cosC? .

【解析】由C?2A，知sinC?sin2A?2sinAcosA. 结合正弦定理，得c?2acosA.

b2?c2?a29?c2?4由a?2，b?3，及余弦定理，得c?2acosA?2a?，c?4?.

2bc6c∴ c2?10，c?10.

a2?b2?c24?9?10C???∴ cos2ab2?2?31. 4

3．设复数z满足z?i?2，则z?z的最大值为 . （i为虚数单位，z为复数z的共轭复数）

【解析】设z?x?yi（x，y?R），

1

则z?x?yi，z?z?(x?yi)?(x?yi)?2yi，z?z?2y. 由z?i?2，知(x?yi)?i?2，x2?(y?1)2?4. ∴ (y?1)2?4，?1?y?3.

∴ z?z?2y?6，当且仅当y?3，即z?3i时，等号成立. ∴ z?z的最大值为6.

4．已知定义在R上的奇函数f(x)的图像关于直线x?2对称，当0?x?2时，f(x)?x?1，则f(?100)?f(?101)? .

【解析】由f(x)为奇函数，且其图像关于直线x?2对称，知f(?x)??f(x)，且

f(2?x)?f(2?x).

?x)??f(xf(x?8)??f(x?4)?f(x). f(x)是以8为周期的周期函∴ f(x?4)?f(，

数.

又f(3)?f(1)?2，f(4)?f(0)?0.

)f?(10?1f)∴ f(?100??(f4)?(3?). ?0

5．从如图所示的由9个单位小方格组成的3?3方格表的16个顶点中任取三个顶点，则这三个点构成直角三角形的概率为 .

【解析】先计算矩形的个数，再计算直角三角形的个数.

22根据矩形特点，由这16个点可以构成C4?C4?36个不同的矩形.

又每个矩形可以分割成4个不同的直角三角形，且不同的矩形，分割所得的直角三角形也不同.

因此，可得4?36?144个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形；

2

再算直角顶点不在矩形顶点：

（1） 在1?2矩形中，有顶点不在矩形顶点，边长分别为而1?2矩形横向、纵向各有6个，共2?12=24个；

（2） 在2?3矩形中，有顶点不在矩形顶点，边长分别为个，边长分别为

??2，2，2 的直角三角形2个，

?5，5，10 的直角三角形4

??2，22，10 的直角三角形4个，而2?3矩形横向、纵向各有2个，共（4+4）

??4=32个；

（第5题图）

故，所求的概率为P?

6．如图，在三棱锥P?ABC中，△PAC、△ABC都是边长为6的等边三角形. 若二面角P?AC?B的大小为120?，则三棱锥P?ABC外接球的面积为 .

P144+24+322005. ??3C1640?1414【解析】如图，取AC中点D，连DP、DB. 则由△PAC、△ABC都是边长为6的等边三角形，得

C?PDB为二面角P?AC?B的平面角，PD?AC，BD?AC，

BA?PDB?120?.

设O为三棱锥P?ABC外接球的球心，O1、O2分别为△ABC、△PAC（第6题图）

3

的中心.

则OO1?面ABC，OO2?面PAC，且

13O2D?O1D?(?6)?3，OO2?OO1.

32PO易知O、O2、D、O1四点共面，连OD，则?ODO1?60?，

O2CDAO1BOO1?3DO1?3.

∴ 三棱锥P?ABC外接球半径

R?OB?OO12?O1B2?32?(23)2?21.

（第6题答题图）

∴ 三棱锥P?ABC外接球的面积为4?R2?84?.

x2y2?1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G、I7．已知F1、F2分别为双曲线C：?412分别为△F1PF2的重心、内心，若GI∥x轴，则△F1PF2的外接圆半径R? .

【答案】 5

【解析】不妨设P(x0，y0)在第一象限，PF1?r1，PF2?r2. 依题意，r1?r2?4，F1F2?8.

由G、I分别为△F1PF2的重心、内心，GI∥x轴，得△F1PF2内切圆半径r?111∴ S△F1PF2?(F1P?F1F2?F2P)?r?(r1?r2?8)?y0.

2231y0. 3又S△F1PF2?111?F1F2?y0?4y0. ∴ (r1?r2?8)?y0?4y0. 223∴ r1?r2?16，结合r1?r2?4，得r1?10，r2?6. 由此得到，F1P2?F1F22?F2P2. 因此，PF2?F1F2.

∴ △F1PF2的外接圆半径R?1F1P?5. 24

8．最近网络上有一篇文章很火. 源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，里面竟然蕴藏了深奥的大道理.

（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下） 设a，b??2，，，，，，345678?，则最大值为 .

【解析】不妨设a?b，x?aba，则1?x?4，且 bab?的

10b?a10a?bab1x110x2?2x?10??????2aa10b?a10a?b10?10?x10x?110x?101x?1010??1 bb99x99?1??1?110x2?101x?1010(x?)?101x11∵ 1?x?4，当x?4时，10(x?)?101取最大值10(4?)?101.

x4∴ 当x?4时，1?999989取最大值1?. ?1128710(x?)?10110(4?)?101x4ab89?取最大值.

10b?a10a?b287∴ 当a?8，b?2（或a?2，b?8）时，

9．已知整数系数多项式f(x)?x5?a1x4?a2x3?a3x2?a4x?a5，若f(3?f(1)?f(3)?0，则f(?1)? .

，2)?0【解析】设x0?3?2，则x0?3?2，(x0?3)2?2，

22于是x0?23x0?3?2，23x0?x0?1. 422∴ (23x0)2?(x02?1)，x0?10x0?1?0.

∴ x0?3?2是多项式g(x)?x4?10x2?1的一个根.

5

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