概率论与数理统计教案

概率论与数理统计教案

编写人：

授课时间 授课方式 授课单元 要求与目的 理论课 第三章：多维随机变量及其分布 通过教学使学生了解二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性。掌握二维随机变量函数的分布。 重点与难点 (1) 重点是二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、课时数 边缘分布，条件分布、独立性 (2) 难点是二维随机变量函数的分布 主要内容 一、基本概念 联合分布函数，联合分布函数的性质、边缘分布函数 二、离散型二维随机变量 离散型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性 三、连续型二维随机变量 连续型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性 四、二维随机变量函数的分布 1.离散型随机变量函数的分布 2.连续型随机变量函数的分布 教学方法 参考资料 讲授式 讲练结合 《概率论与数理统计》余长安编，武汉大学出版社 《概率论与数理统计》吴传生编，高等教育出版社 思考题

第三章：多维随机变量及其分布

一、基本概念

1联合分布函数

设（X,Y）是二维离散型随机变量，x,y是任意实数，

F(x,y)?P(X?x,Y?Y)

二维随机变量（X,Y）的联合分布函数。 2.联合分布函数的性质

（1）单调性F(x,y)关于x(y)单调不减；

（2）0?F(x,y)?1,F(x,??)?F(??,y)?0,F(??,??)?1； (3) F(x,y)关于x(y)右连续；

(4)P{x1?X?x2,y1?Y?y2}?F(x2,y2)?F(x1,y2)?F(x2,y1)?F(x2,y2) 3．边缘分布函数

设（X,Y）是二维离散型随机变量的联合分布函数为F(x,y)，则

FX(x)?P{X?x}?P{X?x,Y???}?F(x,??)FY(y)?P{Y?y}?P{X???,Y?y}?F(??,y)

二维随机变量（X,Y）的边缘分布函数。

，

二、离散型二维随机变量

1. 离散型二维随机变量的分布律

设(X,Y)是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(ai,bj),i,j?1,2, pij?pijp?P??a?ab,2,{XY??bj}i,i?j),i,j?1称(pij;i,j?1,2,

,令

)是二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布.

二维联合分布的三个性质：

(1)pij?0,i,j?1,2,(2)??pij?1i?1j?1??;

(3)P(??ai)??pij?pij?1?

2. 离散型二维随机变量的分布函数 F(x,y)?X?xiY?yj??pij

3. 离散型二维随机变量的边缘分布

设二维随机变量（X,Y）的联合概率分布p{X?xi,Y?yj}=pij(i,j?1,2,固定的i关于j求和而得到

p{X?xi}?p{X?xi,Y???}?)中对

?pj?1??ij?pi.

p{Y?yj}?p{X???,Y?yj}??pij?p.j

i?14. 离散型二维随机变量的条件

对于固定的j若，p{Y?yj}?p.j?0，称

p{X?xi|Y?yj}?p{X?xi,Y?yj}p{Y?yj}?pijp.j

为在Y?yj的条件下，随机变量X?xi的条件概率. 同样定义p{Y?yj|X?xi}?变量Y?yj的条件概率. 条件概率符合概率的性质

p{X?xi,Y?yj}p{X?xi}?pijpi.为在X?xi的条件下，随机

p{X?xi|Y?yj}?0

?i?1?p{X?xi|Y?yj}?1

5. 离散型二维随机变量的独立性

设离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布列与边缘分布为：

P{X?xi,Y?yj}?pij，p{X?xi}?pi. p{Y?yj}?p.j

定理1：离散型随机变量X,Y独立的充分必要条件是对于任意的i,j都有 pij?pi. p.j

例1 从1，2，3，4种任取一个记为X，在从1X种任取一个记为Y， (1)求二维随机变量（X,Y）的联合分布律

X\\Y 1 2 3 4 1 1/4 1/8 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12/ 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 (2)求二维随机变量（X,Y）的边缘分布律。

234?234??1?1X~??1/41/41/41/4?? Y~??25/4813/487/483/48??

????(3)求Y?1的条件下，X的概率分布

p{X?1|Y?1}?p11/p.1?1/412?

25/48251/86p{X?2|Y?1}?p12/p.1??25/4825 1/124p{X?3|Y?1}?p13/p.1??25/4825 1/163p{X?4|Y?1}?p13/p.1??25/4825

(4) 随机变量X,Y独立吗？

p11?(1/4)?(1/4)(25/48)?p1. p.1

X,Y不独立。

例2 X~??0.5??01?1??0??，Y~?0.40.6??，且p{XY?0}?0.4，求随机变量（X,Y）0.5????的联合分布律及p{X?Y}。

X Y 0 1 0 1 0.3 0.2 0.1 0.4 pi. 0.5 0.5

p.j 0.4 0.6 例3 已知X,Y独立，完成下表：

X Y 1 2 1 2 3 1 8pi. 1 86p.j 1 例4 已知（X,Y）的分布律为：

X Y 1 2 0 1 0.4 a b 0.1 已知{X?0}与{X?Y?1}独立，求a,b

三、连续型二维随机变量

1．定义与性质

如果联F(x,y)是一个合分布函数，若存在函数p(x,y)，使对任意的(x,y)，有 F(x,y)???xy????p(u,v)dudv

成立，则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p(x,y)是F(x,y)的联合概率密度函数或简称为密度.

如果二维随机变量(?,?)的联合分布函数F(x,y)是连续型分布函数，就称(?,?)是二维的连续型随机变量.

密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p(x,y)必具有下述性质：

(1)p(x,y)?0;(2)????????p(x,y)dxdy?F(??,??)?1

反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p(x,y)，必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库概率论与数理统计教案在线全文阅读。