SSE/(T?k?1)T?1SST?SSR?1?()()SST/(T?1)T?k?1SST 1.47
T?1??????1?()(1?R2)T?k?1R2?1?当在模型中增加解释变量时，SSE将减小，同时 T- k - 1也减小。从而使SSE的减小量得到一定补偿。通常R2的值比R 2小。有时还会出现取负值的情况。
增加新的解释变量时，R2可能会增加，也可能会降低。这取决于新的解释变量对y的解释能力。
结论3：增加解释变量时，调整的可决系数的变化。如果新增加的变量的t统计量大于（小于）1，则模型的调整的可决系数会增加（下降）。
4． 非中心化的R2
?的均值不一定为0，y与y?的均值也不一定相同。因此，等当模型中没有常数项时，u式SST = SSR + SSE不一定成立，即总离差平方和（SST）不能分解为回归平方和（SSR）与残差平方和（SSE）两部分。这时R2可能会出现负值或者大于1的情况。这时可采用非中心化的拟合优度。我们知道，（2.44）式总是成立的，即y的平方和恰好分解为拟合值的平方和与残差平方和。定义非中心化的可决系数为：
Ru2??'y?(Py)'(Py)y(My)'(My)??1? 1.48 y'yy'yy'y对比可决系数与非中心化的可决系数可以看出，如果模型中存在常数项，当y的均值为0时，二者是完全相同的。
对y进行线性变换y*=by，则Ru2不变。即，y由以米为单位变为以厘米为单位，或者以公斤为单位变为以斤为单位不会改变Ru2。如果对y进行线性变换y*=al+y，则Ru2会发生相应的变化。
al?y?P(al?y)?M(al?y)?al?Py?My?'y?(al?Py)'(al?Py)y(My)'(My) Ru2???1?y'y(al?y)'(al?y)(al?y)'(al?y)X中不包括常数项。当a增加时，Ru2也随之增加。因此，当模型中包含常数项时，如果常数项比较大，则Ru2会比较高。但Ru2更多地是由常数项带来的，并没有直观的经济意义。
因此，在解释模型的可决系数或非中心化的可决系数时，首先要明确Ru2的计算方法及其可能存在的问题，避免对模型的错误解读。 例 1.3计算例1.1的方差分析表及R2等指标。
. regress ceosal ret
例 1.4计算例1.2的方差分析表及R2等指标。
. regress wage educ exper expersq age
1.3.2 整个方程的显著性检验
假定4：随机误差项服从正态分布。
当检验被解释变量yt与一组解释变量x1, x2 , ... , xk是否存在回归关系时，给出的零假设与备择假设分别是
H0：?1 = ?2 = ... = ?k = 0 ； H1：?i, i = 1, ..., k不全为零。 检验思路： 无约束模型为：
yt = ?0 +?1x1t + ?2x2t +…+ ?kx k t + ut ， （a）
受约束模型：
yt = ?0 + vt （b）
如果原假设成立，那么模型（a）中的参数?1, …, ?k均不显著，模型（a）与模型（b）的残差平方和近似相等。如果备择假设成立，那么模型（a）中至少有一个变量是显著的，而模型（b）中的随机扰动项ut包含了这些显著性的变量，因此模型（b）的残差平方和会明显高于模型（a）的残差平方和。
模型（a）的残差平方和表示为SSEU（其中U表示没有约束（Unrestricted））
T????x?????x)2 SSEU??t?1(yt??011tkkt模型（b）的残差平方和表示为SSER（其中R表示带有约束（Restricted））
T?)2 SSER??t?1(yt??0因此，可以根据残差项方差的变化来检验假设是否是正确的。如果（SSER - SSEU）比较大（小），则倾向于拒绝（接受）原假设。正式的统计检验是通过构建如下F统计量来完成的。
F?(SSER?SSEU)/k 1.49
SSEU/(T?k?1)在H0成立条件下，有
F ? F(k, T – k – 1)
由检验思路可以看出，F统计量越大（小），我们越倾向于拒绝（接受）原假设。因此，这是右单端检验。检验可以临界值方法和构建p值的方法来完成。设检验水平为?，检验规则如下。
1． 临界值法：若F ? F? (k, T – k – 1)，则接受H0；若F > F? (k, T – k – 1)，则拒绝H0。 2． P值法：若P(x > F ) > α，接受H0；若P(x > F ) < α，，拒绝H0。
拒绝H0意味着肯定有解释变量与yt存在回归关系。若F检验的结论是接受H0，则说明k个解释变量都不与yt存在回归关系。此时，假设检验应该到此为止。当F检验的结论是拒
绝H0时，应该进一步做t检验，从而确定模型中哪些是重要解释变量，哪些是非重要解释变量。
??y，因此，检验统计量还可以写为另外一种形式。约束模型（b）中的?0估计量为?0其残差平方和又等于离差平方和SST。因此，F统计量又可以写为：
F?(SSER?SSEU)/k(SST?SSEU)/kSSRU/k?? 1.50
SSEU/(T?k?1)SSEU/(T?k?1)SSEU/(T?k?1)其中，SSRU表示无约束模型的回归平方和。
注：当模型中没有常数项时，Stata输出的R2为非中心化R2；而F统计量也是基于非中心化的F统计量，即(SSR/k)/[SSE/(n-k)]。
思考题：证明，在一元回归模型中，F统计量与t统计量存在关系：F=t2？ 1.3.3
单个回归参数的约束检验
当F检验拒绝H0时，并不见得每个解释变量都对yt有显著的解释作用（即不见得每一个都是重要解释变量），所以还应对每个解释变量的系数进行显著性检验。检验统计量为：
???*)s(??) 1.51 tj?(?jjj结论：在基本假定1~4的条件下，上式中的t统计量服从（N-K-1）个自由度的t分布。 证明：tj????*?jj?(X'X)?2?1jj????*?jj?2?1jj?(X'X)2?2?
令zj????*?jj1?2(X'X)?jj?~Normal[β,?2(X'X)?1]可知，z~Normal(0,1)。~Normal(0,1)，由β jtj?zj?/??22?zj?u?(u'?/2)N/?(K? 1.52
1)?'u?/?2)~?(2N?K?1)，并且与zj独立的话，就可以证明上述结论。 如果(u?'u?u?2?u'Mu?2?u'?Mu? 1.53
根据概率统计中的两个基本结论：
2（1）如果向量x~N(0,In)，A为幂等矩阵，则x'Ax~?Rank(A)，即自由度为矩阵A的秩；
（2）如果A为幂等矩阵，则Rank(A)=Trace(A) 以及基本假定u~N(0,?2I)，可得：
u'u/?2~?(2N?K?1)
?'u?/?2的自由度为N-K-1。 由M?I?X?X'X???X'可得Trace(M)=N-K-1。因此，u??β??X'X???X'u及u??Mu，可得， 由β?,u?|X)?E[?X'X???X'uu'M|X]cov(β??X'X???X'E[uu'|X]M???X'X?X'[I?X?X'X?X']?02???? 1.54
???*)s(??)~t综上所述，可得到结论：tj?(?jjj(N?K?1)
检验的判别方法与简单线性模型的完全相同，此处不予赘述。 1.3.4
线性约束检验
与整个方程的显著性相类似，如果仅对其中部分变量的联合显著性进行检验，也可以按照相同的思路利用F检验来进行。将所有的解释变量分解为两部分，X1=(1, x1, x2, …, xJ)和X2 = (xJ+1, …, xK)。模型重新表述为：
y = X1β1 + X2β2 + u 1.55
其中，共有K个变量，其中X1含有K1个变量，X2含有K2个变量，K= K1+ K2。
原假设与备择假设分别是H0：β2 =0；H1：β2 ≠0。 无约束模型为：
y = X1β1 + X2β2 + u 1.56
受约束模型为：
y = X1β1 + u 1.57
如果原假设成立，则无约束模型的残差平方不能明显地提高模型的解释能力；如果备择假设成立，能无约束模型应明显地降低受约束模型的残差平方和。F统计量为：
22(SSER?SSEU)/K2(RU?RR)/K2F?? 1.58 2SSEU/(T?K)(1?RR)/(T?K)在H0成立条件下，有
F ? F(K2, T – K – 1)
判断规则与整个方程的判断规则完全相同。
例 1.5 在例1.2中，利用F统计量检验变量educ、tenure的联合显著性
. test educ exper
1.3.5 多个变量的显著性检验－LM检验
拉格朗日乘子检验是检验多个变量联合显著性的另外一种常用方法。其基本思路如下。在无约束模型中，随机扰动项u与X2不相关。如果原假设成立，利用受约束模型得到的残?与X2也不相关。但如果原假设不成立，利用受约束模型得到的残差项u?与X2就会出差项u现高度相关。LM检验步骤如下。
?； Step1：回归受约束模型，提取残差项u??α1X1?α2X2?v，记其拟合优度为Ru2； Step2：利用OLS方法回归辅助方程：u2Step3：LM统计量（也称为得分统计量）为：LM?NRu2~?K。
2?与X1是正交的，也要把X1放在模型中；需要注意的是，（1）在辅助回归方程中，虽然u否则，检验统计量不再渐进服从卡方分布。（2）常数项包含在X1中，如果X1中不包含常数?为0均值，因此，X1包含常数项的时项，则Ru2采用非中心化的可决系数。事实上，因为u候，可决系数与非中心化的可决系数是相同的。 1.3.6
线性约束的F检验
线性约束检验是指检验回归系数的某个或某几个线性组合。对于模型
y = X1β1 + X2β2 + u 原假设形式为：
H0：Rβ?q
其中，R为J×K矩阵，J表示对K个参数的J个线性约束。
对于上述原假设构建F统计量
??q)'[R(X'X)?1R'](Rβ??q)/J(Rβ 1.59 F??'u?/(N?K)u结论：假定1~4成立，如果原假设成立，则上述F统计量服从自由度为（J，N-K）的F分布。
证明：将F统计量写为：
??q)'[?2R(X'X)?1R']?1(Rβ??q)/J(Rβ 1.60 F?2?'u?/?)/(N?K)(u??q)'[?2R(X'X)?1R']?1(Rβ??q)。?'u?/?2~?(2N?K)。令w?(Rβ前文已经证明u现在只需要证明w
?'u?/?2相互独立即可。 服从卡方分布，且与u??q，如果原假设成立，则v?Rβ??q?Rβ??(Rβ)?R(β??β)。其期望和方差令v?Rβ分别为：
??β)]?0 E(v)?E[R(β
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