基于子结构模态应变能分析的车身结构附加阻尼分配和优化设计方法(2)

SSmb?ΦSMSgbggΦgb

??T

SSkb?ΦSKSgbggΦgb

??T （5）

实际上，公式（4）、（5）将子结构S的任意一阶模态b转化成了如图4所示的弹簧质量系统，由不

同模态得到的弹簧质量系统都是相互独立的。子结构S与其它子结构之间的连接点、激励点和响应

SS点的位移可以由qb分别由ΦSsb和Φob变换得到。为了使得连接点和激励点自由度相互独立，模型中

引入了kSs，从而简化子结构的装配。

设子结构S的阻尼?S可以通过如图4所示弹簧质量模型中的复刚度进行模拟，模态阻尼损耗因

S子为?b。

图5 子结构S的简化模态模型

2.2 子结构的模态综合

将如图6所示的各个子结构的模态模型进行装配，可以得到整体结构的模态综合模型如图6所示。

图6 整体结构的模态综合模型

对于给定的简谐激励（简谐力Fe(?)或者位移ue(?)），求解整体结构的运动方程就可以得到结

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构的动态响应uo(?)。

S根据广义响应qb(?)定义的模态参与因子（MPF）可用于定量评价子结构的各阶模态对整体结

构响应的影响。

S根据广义响应qb(?)可以定义模态应变能EbS(?)如下

EbS(?)?2S1Sqb(?)kb（6） 2在NASTRAN等有限元软件中，单元应变能的定义与上式相似。对于任意一个有限单元e，设响应的实部和虚部分别为ur和ui，单元刚度矩阵为Ke，则其应变能定义如下

Ee?1TTurKeur?uiKeui（7） 4??S广义响应qb(?)通常是一个复数向量，而且向量中每个元素的实部和虚部的大小依赖于模态的S规范化方法。但是通过（6）是定义得到的模态应变能Eb(?)则是一个实数标量，而且其大小与模

态向量的规范化方法无关。 模态参与因子（MPF）定义为相应于每个子结构的每一阶模态的应变能与整体结构的应变能的比值，即

EbS(?)（8） MPF(?)?SE(?)??bSbSb如上式所示，每个MPF表示给定的子结构S中的给定模态b的能量比值。通过累加子结构S的各阶模态的应变能可以得到子结构S的能量贡献，即

MPFS(?)??EbS(?)（9）

b显然，根据上述MPF的定义可以得到下面的关系

0?MPFbS(?)?1

??MPFSbSb(?)??MPFS(?)?1（10）

S根据上面的MPF定义，可以通过MPF与观测点的响应uo(?)的乘积定义子结构S的模态b对观测点的响应的贡献

SSuo(?)?u(?)?MPF,bob(?)（11） Suo(?)?uo(?)?MPFS(?)（12）

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2.3 阻尼分配方法

根据上面的分析，整体结构的阻尼?(?)可以由MPF和各个子结构的阻尼值?S按照下式计算得到

?(?)????S?MPFS(?)?（13）

S不考虑各阶模态之间的耦合作用时，在孤立的峰值附近，结构动态响应的幅值uo(?)与整体结构的阻尼成反比，即

uo(?)??uo(?)uo(?)??(?)（14）

?(?)???(?)上式中，??为整体结构的阻尼的增量，可以由子结构S的阻尼的增量（如何计算，如何考虑与频率的相关性）??S根据下式近似计算得到

??(?)????S?MPFS(?)（15）

S将结构修改前后动态响应幅值的比值定义为结构的动态响应的衰减系数A(?)，即

A(?)?uo(?)??uo(?)（16）

uo(?)显然，如果结构动态响应的衰减系数A(?)?1，则表示结构响应是放大了而不是衰减了。比较（14）、（16）式可见，如果结构的模态较稀疏，相互之间的耦合作用较弱时，在各个孤立的响应峰值附近，（14）式可以用于快速计算某种给定的阻尼分配下结构动态响应的衰减系数A(?)，即

A(?)??(?)（17）

?(?)???(?)在实际结构动态设计中，往往需要在整体结构中分配阻尼，从而使得结构的动态响应衰减到一定的限值以下。该设计问题可以表示为求解下面的方程

?1?SS????MPF(?)??1??A(?)???(?)（18）

S??上式中??为待求变量，且考虑到实际工程中的一些限制条件，这些变量应该满足下面的约束条件

S（19） 0???S???maxS上面的（18）、（19）式可以采用传统的优化方法，如NNLS（非负最小二乘）方法进行求解。

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2.4 设计分析流程

基于如图7所示的流程，采用MATLAB和MSC/NASTRAN实现了上面给出的附加阻尼的分配方法。图7所示流程中包括4个基本模块，对每个模块分别说明如下：

图7 附加阻尼分配的一个设计分析流程

子结构分析

首先，将整体结构系统划分为多个子结构，每个子结构都具有一定的阻尼，能够衰减振动能量。对对每个子结构，在其相应的NASTRAN输入文件中定义连接自由度、激励自由度和响应自由度。

对每个子结构进行模态分析和静态变形分析，根据得到的自由模态和剩余模态建立子结构的简化分析模型。模态分析的频率范围取决于具体的研究目的，为了减少模态阶段误差频率上限通常至少要高于最高激励频率的1.5倍。该步分析完全在NASTRAN软件中进行。

子结构装配

根据上一步子结构分析得到的自由模态和剩余模态，可以对每个子结构在NASTRAN软件中建立如图4所示的弹簧质量模型。根据连接点处的位移协调条件将各个子结构的弹簧质量模型进行装配，从而得到整体结构的装配模型。这一步完全在MATLAB中实现。

（生成一个NASTRAN输入文件，定义了一个子结构装配模型） 频率响应分析

频率响应分析通过在MATLAB中定义载荷工况（Load Case）实现，。对于每一个载荷工况都定义下面的内容：

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1、激励频率 2、激励和响应点 3、激励的幅频曲线 4、每个子结构的结构阻尼

定义完成上述载荷工况后，就可以将相应的NASTRAN输入文件提交NASTRAN进行分析计算。计算得到的输出结果包括结构的响应和MPF，可以用MATLAB进行图形显示和查看。 阻尼分配

将计算得到的频率响应进行图形显示，并与给定的设计目标要求相比较。在响应水平高于设计目标要求的频率处，应用MPF确定各个子结构的模态对结构响应的贡献。

在高于容许响应水平的峰值处，可以手动或者自动（优化）修改子结构的阻尼值，以满足结构动态响应的衰减要求。修改阻尼后的结构的响应可以通过MPF进行计算分析。结构动态响应的真实的衰减情况，可以根据新的阻尼分配情况定义load case并提交NASTRAN计算分析得到。

2.5 应用实例

上面提出的附加阻尼分配方法、流程以及相应的基于MATLAB和NASTRAN开发的分析软件目前正在PSA进行验证。分析的第一个工程应用实例为如图7所示的车身底板结构，底板上设计了4个soundproof treated panels。

图8 车身底板上的附加阻尼设计

激励点和响应点如图7所示。4个panel和floorboard子结构的初始结构阻尼都为?0，初始结构的动态响应如图9所示，图中同时给出了动态响应设计水平（specification level）。从图中可见，在三个峰值处结构的动态响应高于设计要求的限值。MPF分析表明，对于a处的峰值，4个panel子结

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