第7章：直方图

第7章：直方图

一． 前言

现场工作人员经常都要需对许多的数据，这些数据均来自于制程中抽验或查检所得的某项产品之品质特征。如果我们应用统计绘图的方法，将这些数据加以整理，则制程中的品质散布的情形及问题点所在及制程、能力等，均可呈现在我们的眼前；我们即可得用这些情报来掌握问题点以进行改善对策。通常在生产现场最常利用的图表即为直方图。 二． 直方图的定义

A． 何谓直方图

为要容易的看出如长度、重量、硬度、时间等计量值的数据分配情形，所用来表示的图形。直方图是将所收集的测定值特性值或结果值，分为几个相等的区间作为横轴，并将各区间内所测定值依所出现的次数累积而成的面积，用柱子排起来的图形。因此，也叫做柱状图。 B． 使用直方图的目的： ? 了解分配的型态；

? 研究制程能力或测知制程能力； ? 工程解析与管测知数据之真伪； ? 计划产品之不良率；

? 求分配之平均值与标准差； ? 藉以订定规格界限； ? 与规格或标准值比较；

? 调查是否混入两个以上的不同群体； ? 了解设计管制是否合乎制程管制。 C．

解释名词：

1. 次数分配

将许多的复杂数据依其庆功异的幅度分成若干组，在各组内列入测定值的出现次数，即为次数分配。 2. 相对次数

在各组出现的次数除以全部之次数，即为相对次数。

3. 累积次数（F）

为自次数分配的测定值较小的一端将其次数累积计算，即为累积次数。

1

4. 全距（R）

在所有数据中最大值和最小值的差，即为全距。 5. 组距（H） 全距/组数=组距

6. 算数平均数（X）

数据的总和除以数据总数谓之，通常以X（X-bar）表示。

n

X= X1+X2+ n ? +Xn =

∑Xi X=Xo+h

∑uf n 7. 中位数（X）

将数据由小至大依序排列，位居中央的数称为中位数，若遇偶位数时，则取中央两数据之平均值。 8. 各组中点之简化值（U）

μ= Xi-Xo 组距（h）

Xo = 次数最多一组的组中

Xi = 各组组中点

9. 众数（Mode）

次数分配中出现次数最多组之值。 例： 不良数 3 5 7 9 次 数 11 15 18 24 次数最多为24，不良数是9，故众数为9。 10. 组中点（mid range）

一组数据中最大值与最小值之平均值。 （上组界+下组界）/2=组中点 11. 标准差（σ）

σ=σ0=h×

（∑μf）2

∑μ2f— n n

10 13 11 16 12. 样本标准差（S） 2（∑μf） 2

∑μf— n S=σn-1=h× n-1

2

三． 直方图的制作

1． 直方图的制作方法

步骤1：搜集数据并记录

搜集数据时，对于抽样分布必须特别注意，不可取部份样品，应就全部均匀的加以随机抽样。所搜集的数据应大于50以上。

例：某厂之成品尺寸规格为130至160mm，今按随机抽样方式抽取60个当样本，其测定值如附表，试制作直方图。

138 142 148 145 140 141 139 140 141 138 138 139 144 138 139 134 137 137 131 128 138 137 137 133 140 130 134 128 138 132 145 141 135 131 139 131 134 136 137 133 134 132 135 134 132 137 121 129 137 132 130 135 135 134 136 131 131 139 134 135 步骤2：找出数据中之最大值（L）与最小值（S） 先从各行或列中求出最大值，最小值，再予以比较。 最大值用“ ”框起来，最小值用框“ ”框起来。

138 142 148 145 140 141 139 140 141 138 138 139 144 138 139 134 137 137 131 127 138 137 137 133 140 130 134 128 138 132 145 141 135 131 139 131 134 136 137 133 134 132 135 134 132 137 121 129 137 132 130 135 135 134 136 131 131 139 134 135 得知： NO.1 L1=145 S1=131 NO.2 L1=142 S1=127 NO.3 L1=148 S1=130 NO.4 L1=145 S1=128 NO.5 L1=140 S1=121 NO.6 L1=141 S1=129

3

求得：L=148 S=121 步骤3：求全距

数据最大值（L）减最小值（S）=全距（R） 例：R=148-121=27

步骤4：决定组数

A． 组数过少，固然可得到相当简单的表格，但失却次数分配之本质与

意义；组数过多，虽然表列详尽，但无法达到简化的目的。通常，应先将异常值剔除后再行分组。 B． 一般可用数学家史特吉斯（Sturgcs）提出之公式，根据测定次数n 来

计算组数K，其公式为： K=1+3.32log n

例：n=60，则k=1+3.32log60=1+3.32(1:78)=6.9，即约可分为6组或7组。

C． 一般对数据之分组可参照下表 数据数 组数 例：取7组

~50 5~7 51~100 6~10 101~250 7~12 250~ 10~20 步骤5：求组距（h）

A． 组距=全距/组数（h=R/k）

B． 为便于计算平均数及标准差，组距常取为25或10的倍数。

例：h=27/7=3.86，组距取4

步骤6：求各组上组界，下组界（由小而大顺序）

A． 第一组下组界 = 最小值—最小测定单位/2

第一组上组界 = 第一组下组界 + 组界 第二组下组界 = 第一组上组界 ?? ?? B． 最小测定单位

整数位之最小测定单位为1

小数点1位之最小测定单位为0.1 小数点2位之最小测定单位为0.01

C． 最小数应在最小一组内，最大数应在最大一组内；若有数字小于最小一组下组界或大于最大一组上组界值时，应自动加一组。 例：

第一组 = 121-? = 120.5~124.5 第二组 = 124.5~128.5 第三组 = 128.5~132.5 第四组 = 132.5~136.5 第五组 = 136.5~140.5 第六组 = 140.5~144.5

4

第七组 = 144.5~148.5

步骤7：求组中点

组中点（值）=该组上组界 + 该组下组界/2 例：

第一组 = (120.5+124.5)/2 = 122.5 第二组 = (124.5+128.5)/2 = 126.5 第三组 = (128.5+132.5)/2 = 130.5 第四组 = (132.5+136.5)/2 = 134.5 第五组 = (136.5+140.5)/2 = 138.5 第六组 = (140.5+144.5)/2 = 142.5 第七组 = (144.5+148.5)/2 = 146.5

步骤8：作次数分配表

A． 将所有数据，依其数值大小书记于各组之组界内，并计算其次数。 B． 将次数相加，并与测定值之个数相比较：表中之次数总和应与测定值之总数相同。 次数分配表 组号 1 2 3 4 5 6 7 组界 120.5~124.5 124.5~128.5 128.5~132.5 132.5~136.5 136.5~140.5 140.5~144.5 144.5~148.5 组中点 122.5 126.5 130.5 134.5 138.5 142.5 146.5 合计 划记 | || ||||| ||||| || ||||| ||||| ||||| ||| ||||| ||||| ||||| |||| ||||| ||| 次数 1 2 12 18 19 5 3 60 步骤9：制作直方图 A． 将次数分配表图表化，以横轴表示数值之变化，以纵轴表示次数。 B． 横轴与纵轴各取适当的单位长度。再将各组之组界分别标在横轴上，各组界应为等距离。

C． 以各组内之次数为高，组距为底；在每一组上画成矩阵，则完成直方图；

D． 在图之右上角记入相关数据履历（数据总数n，平均值x，标准差σ??），并划出规格之上、下限。

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