第二章 第三节函数的值域与最值(2)

1

14．已知f(x)＝|1－|.

x

1

(1)当x∈[，2]时，求f(x)的值域．

2

(2)是否存在实数a，b(a

1

1－，x>1或x<0，

x1

解：(1)f(x)＝|1－|＝

x1

－1，0

11

当x∈[，1]时，－1∈[0,1]；

2x

11

当x∈[1,2]时，1－∈[0，]．

x2

∴f(x)的值域为[0,1]．

(2)不存在．理由：假设存在实数a，b使得函数f(x)的定义域与值域都为[a，b]，

1

1－＝a，

a

则当aa>1时，方程组无解；

1

1－＝b，

b

???

???

?

当0

1－?b＝a

11－＝b

a

?a＝b，与a

1

当a<0

b2

15．(1)函数y＝lg(x＋ax＋1)的定义域为R，求实数a的取值范围． (2)函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域为R，求a的取值范围． (3)函数y＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R，求a的取值范围． (4)函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的值域为R，求a的取值范围． 解：(1)因为函数y＝lg(x2＋ax＋1)的定义域为R. 即对任意x∈R，x2＋ax＋1>0恒成立，

由于二次函数f(x)＝x2＋ax＋1对应的抛物线开口向上，只需对应判别式小于零， 即a2－4<0，解得－2

本题实质为二次函数(不等式)中的恒成立问题，一般可转化为开口向上(下)的抛物线对应函数值恒大于(小于)零的问题，从判别式小于零求解．

(2)注意分a＝0和a>0两种情况讨论．

a＝0时，原函数为y＝lg1＝0对任意x∈R都成立；

2

a≠0时，只能a>0(否则a<0，必存在x0使ax0＋ax0＋1≤0，)

?a>0?a>0

此时须满足?，即?2，解得0

?Δ<0?a－4a<0

综上，0≤a<4时，函数y＝lg(ax2＋ax＋1)的定义域为R. (3)y＝lg(x2＋ax＋1)的值域为R， 则真数必可取得任意大于零的数，

2

须有x＋ax＋1存在零或负值才能满足要求，

2

否则x＋ax＋1最小值为正数t，

则真数不能取得(0，t)之间的正数，对数值不可能为R. 故只要Δ≥0，即a2－4≥0， ∴a≥2或a≤－2.

要特别注意，如仍利用x2＋ax＋1>0恒成立得出Δ<0，从而得－2

112

，则真数不小于，从而y＝lg(x＋ax＋1)≥－1，此时值1010

1

域为[－1，＋∞)，而不是(－∞，＋∞)，因为真数x2＋ax＋1取不到(0，)之间的正数．

10

?a>0?a>0?(4)由(1)结论知，只需，即?2 ?Δ≥0?a－4a≥0这样想，不妨设(x＋ax＋1)min＝

2

解得a≥4，

2

故当a≥4时，函数y＝lg(ax＋ax＋1)的值域为R.

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说教育文库第二章 第三节函数的值域与最值(2)在线全文阅读。