2019年高考数学一轮复习：直线与圆锥曲线的位置关系(3)

（x1＋x2）2－4x1x2＝144－16＝82.故填82.

．若点O和点F分别为椭圆x29＋y2

88＝1的中心和

左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP→·FP→

的最小值为________．

点P为椭圆x29＋y2

解：8＝1上的任意一点，

设P(x，y)(－3≤x≤3)， 依题意得左焦点F(－1，0)， 所以OP→＝(x，y)，FP→

＝(x＋1，y)，

所以OP→·FP→＝x(x＋1)＋y2＝x2

＋x＋72－8x2129＝9x

＋x＋8，

因为－3≤x≤3，所以 6≤OP→·FP→

≤12.故最小值为6.故填6.

9．(2016·厦门模拟)已知椭圆C的中心在原点O，

焦点在x轴上，离心率为1

2，右焦点到右顶点的距离为

1.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y＝kx＋m(k∈R)，使得OA→·OB→

＝0成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

的标准方程为x2解：(1)设椭圆Cy2

a2＋b2＝1(a>b>0)，

半焦距为c.依题意有e＝ca＝1

2，a－c＝1，解得c＝1，

，所以b2

＝a2

－c2

＝3.则椭圆C的标准方程为x2

a＝24

＋y2

3

＝1. (2)存在直线l，使得OA→·OB→

＝0成立．理由如下： ?y＝kx由?＋m，?x2＋y2得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝??43＝10，

则Δ＝(8km)2－4(3＋4k2)(4m2－12)>0， 化简得3＋4k2>m2.

设A(x)，B(x8km1，y12，y2)，则x1＋x2＝－3＋4k2，x1x

2

＝4m2－123＋4k2. 若OA→·OB→

＝0，则x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(kx1

＋m)(kx2＋m)＝0，整理得(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2

2

＝0，则(1＋k2)·4m－128km3＋4k2－km·3＋4k

2＋m2

＝0， 化简得7m2＝12＋12k2，将k2＝7

12m2－1代入3＋

4k2>m2中，则3＋4?7?212m－1??>m2

，

解得m2>312

4，又由7m2＝12＋12k2≥12，得m2≥7，

从而m2≥127，即m≥22

721或m≤－721.

所以实数m的取值范围是??－∞，－2

721??

∪?2?721，＋∞??

.

：x2y2

10．(2016·南京模拟)已知椭圆Ca2＋b2＝1(a>b>0)

短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，椭圆C上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C与x轴负半轴交于点A，直线过定点(－1，0)交椭圆于M，N两点，求△AMN面积的最大值．

解：(1)由题意可知a＝2b， 且2a＝4，所以a＝2，b＝1，

则椭圆C的方程为x22

4

＋y＝1.

(2)易知A点坐标为(－2，0)，直线MN过定点D(－1，0)，即可令直线MN的方程为x＝my－1，

?x＝my－联立?1，?x2

消去x得(m2＋4)y2－2my－3＝??＋y2

4＝10，

令M(xx2m

1，y1)，N(2，y2)，则y1＋y2＝m2＋4， y1y2

＝

－3

m2＋4

， 所以S12|AD||y＝1

△AMN＝1－y2|2（y1＋y2）2－4y1y2 ＝1

4m212

m2＋3

2

（m2＋4）2＋m2＋4

＝2（m2＋4）2，

令t＝m2＋3，则t≥3，

所以S1△AMN＝2

t

（t＋1）2＝2

t＋1t

＋2≤2

13

3＋1＝， 3

＋2

2所以当且仅当t＝m2＋3＝3，即m＝0时，△AMN的面积取最大值，最大值为3

2

. 已知椭圆C：x2y2

a2＋b

2＝1(a>b>0)的左、右

焦点分别为F21，F2，椭圆C过点P??

1，

2??

，直线PF1交y轴于点Q，且PF→→

2＝2QO，O为坐标原点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M是椭圆C的上顶点， 过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点， 设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点．

解：(1)因为椭圆C过点P?1，

2?

2?

?

，所以1a2＋12b2＝

1，①.

又PF→→

2＝2QO，即PF2⊥F1F2，则c＝1，所以a2

－b2＝1，②，由①②得a2＝2，b2＝1，所以椭圆C的

方程为x22

＋y2

＝1.

(2)证明：由(1)可知M(0，1)，当直线AB的斜率不存在时， 设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2

＝2得y0－1x＋－y0－1＝2，

0x0

则x0＝－1，即直线AB为x＝－1.

当直线AB的斜率存在时， 设AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

?联立方程组?x2?2＋y2＝1，

(1＋2k2)x2＋4kmx＋

??y＝kx＋m

2m2－2＝0，

则x－4km2m2－21＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2，

由k＋k2得y1－1y2－1

12＝x＋＝2，

1x2

即（kx2＋m－1）x1＋（kx1＋m－1）x2

x＝2，

2x1化简得(2－2k)x2x1＝(m－1)(x2＋x1)，

则(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，

由m≠1，(1－k)(m＋1)＝－km得k＝m＋1， 所以y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m，即(x＋1)m＝y－x， 故直线AB过定点(－1，－1)．

2019年高考数学一轮复习第 13 页 共 13 页

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