2017年高考数学原创押题卷(3)

1＋2

所以当m≥2时，f(x)max＝m2； 1＋21

当1＜m＜2时，f(x)max＝m＋4.

8分

(2)函数p(x)有零点，即方程f(x)－g(x)＝x|x－1|－ln x＋m＝0有解， 即m＝ln x－x|x－1|有解．令h(x)＝ln x－x|x－1|， 当x∈(0,1]时，h(x)＝x2－x＋ln x. 1

因为h′(x)＝2x＋x－1≥22－1＞0，

所以函数h(x)在(0,1]上是增函数，所以h(x)≤h(1)＝0. 当x∈(1，＋∞)时，h(x)＝－x2＋x＋ln x．

－2x2＋x＋1?x－1??2x＋1?1

因为h′(x)＝－2x＋x＋1＝＝－＜0，

xx所以函数h(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以h(x)＜h(1)＝0. 所以方程m＝ln x－x|x－1|有解时m≤0.

即函数p(x)有零点时实数m的取值范围是(－∞，0].

16分 12分 10分

?2an，n＝2k－1，

20．(本小题满分16分)已知数列{an}满足a1＝m，an＋1＝?

?an＋r，n＝2k(k∈N*，r∈R)，其前n项和为Sn.

(1)当m与r满足什么关系时，对任意的n∈N*，数列{an}都满足an＋2＝an? (2)对任意实数m，r，是否存在实数p与q，使得{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是同一个等比数列？若存在，请求出p，q满足的条件；若不存在，请说明理由；

(3)当m＝r＝1时，若对任意的n∈N*，都有Sn≥λan，求实数λ的最大值． [解] (1)由题意，得a1＝m，a2＝2a1＝2m，a3＝a2＋r＝2m＋r， 首先由a3＝a1，得m＋r＝0.

?2an，n＝2k－1，

当m＋r＝0时，因为an＋1＝?(k∈N*)，

?an－m，n＝2k

所以a1＝a3＝…＝m，a2＝a4＝…＝2m，故对任意的n∈N*，数列{an}都满足an＋2＝an.

即当实数m，r满足m＋r＝0时，题意成立.

(2)依题意，a2n＋1＝a2n＋r＝2a2n－1＋r，则a2n＋1＋r＝2(a2n－1＋r)，

11

3分

6分

因为a1＋r＝m＋r，所以当m＋r≠0时，{a2n＋1＋r}是等比数列，且a2n＋1＋r＝(a1＋r)2n＝(m＋r)2n.

为使{a2n＋1＋p}是等比数列，则p＝r.

同理，当m＋r≠0时，a2n＋2r＝(m＋r)2n，则欲{a2n＋2r}是等比数列，则q＝2r.

综上所述：

①若m＋r＝0，则不存在实数p，q，使得{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是等比数列； ②若m＋r≠0，则当p，q满足q＝2p＝2r时，{a2n＋1＋p}与{a2n＋q}是同一个等比数列.

(3)当m＝r＝1时，由(2)可得a2n－1＝2n－1，a2n＝2n＋1－2， 当n＝2k时，an＝a2k＝2k＋1－2，

Sn＝S2k＝(21＋22＋…＋2k)＋(22＋23＋…＋2k＋1)－3k＝3(2k＋1－k－2)， k?Sn?

所以a＝3?1－2k＋1－2?，

??n

14分 10分

k＋1?1－k?2k＋1－2kk

令ck＝k＋1，则ck＋1－ck＝k＋2－＝＜0，

2－22－22k＋1－2?2k＋2－2??2k＋1－2?Sn33所以a≥2，λ≤2，

n

当n＝2k－1时，an＝a2k－1＝2k－1，Sn＝S2k－a2k＝3(2k＋1－k－2)－(2k＋1－2)＝2k＋2－3k－4，

Sn3kSn所以a＝4－k，同理可得a≥1，λ≤1，

2－1nn综上所述，实数λ的最大值为1.

16分

12

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