2007年考研数学一真题与解析(3)

Ａ为对称矩阵，得B也是对称矩阵, 因此?1与?2,?3正交, 即

?1T?2?0,　　?1T?3?0

所以?2,?3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：

?x1??? (1,?1,1)?x2??0,

???x3??1???其基础解系为: ?1?,

?0????1???1???1???????1 , 故可取=, =??0??2??3?0?. ?0??1??1????????1??1???1???????即B的全部特征值的特征向量为: k1??1?, k2?1??k3?0?, 其中k1?0,是不为

?1??0??1???????零的任意常数, k2,k3是不同时为零的任意常数.

?11?1???2?????(II) 令P?(?1,?2,?3)=??110?, 则 P?1BP??1?，

?101??1?????

??2????1得 B?P?1?P

?1?????1?11??11?1???2?1?????1??121? =??110??3???101??1???112???????21?1??1?11??01?1?????1??121=?210?????101?. 3??201???112???110??????? (23) (本题满分11分)

设二维随机变量(X, Y)的概率密度为

?2?x?y, f(x,y)???0,(I) 求P?X?2Y?；

0?x?1,?0y?1

其它.(II) 求Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度fZ(z). 【详解】 (I) P?X?2Y??( II) 先求Z的分布函数: FZ(z)?P(X?Y?Z)?当Z<0时, FZ(z)?0;

当0?z?1时, FZ(z)???f(x,y)dxdy??dy?D1x?2y??f(x,y)dxdy??dy?(2?x?y)dx?2y12017. 24x?y?z??f(x,y)dxd yzz?y00(2?x?y)dx

?z2?13z； 3当1?z?2时, FZ(z)?1???f(x,y)dxdy?1?D2?1z?1dy?1z?y(2?x?y)dx

1 ?1?(2?z)3；

3当z?2时, FZ(z)?1. 故Z＝Ｘ+Ｙ的概率密度为

?2z?z2,0?z?1,?fZ(z)=FZ?(z)??(2?z)2,1?z?2,

?0,其他.? (24) (数1, 3)(本题满分11分)

设总体X的概率密度为

?10?x??,?2?,??1,??x?1, f(x,?)??2(1??)?其他.?0,??其中参数?(0

(I) 求参数?的矩估计量??；

(II) 判断4X2是否为?2的无偏估计量,并说明理由.

【详解】 (I) E(X)???????xf(x,?)dx??1xxdx??dx 02??2(1??)??4?1?1(1??)??. 42411n令 ??X, 其中 X??Xi，

24ni?11解方程得?的矩估计量为: ??=2X?.

2?(II) E(4X2)?4E(X2)?4[D(X)?E2(X)]?4[而E(X)??2????2D(X)?E2(X)], n1x2x2dx??dx xf(x,?)dx??02??2(1??)???211???. 36622 D(X)?E(X)?E(X)? ??21111????(??)2 366241215????， 121248D(X)3n?123n?13n?5?E2(X)]???????2, 故E(4X2)?4[n3nn12n所以4X2不是?2的无偏估计量.

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