灰色预测模型的滑坡变形监测的研究(3)

宿州学院毕业论文（设计） 3.回归模型

3 回归模型

3.1 一元线性回归模型

一元线性回归模型就是使用最小二乘法来估计回归方程的回归系数。根据最小

二乘原理，所求出的回归系数应该使误差的平方和为最小，设观测值为?xi,yi? 即Q??ei2???yi?bxi?a?2为最小，则根据极值原理，在Q=min的条件下，求函数

Q对a,b的偏微分，并令其等于零,

??Q??a??2(yi?bxi?a)?0即：? (3-1)

?Q???2xi(yi?bxi?a）?0??b从而可以得到

?（x?x)(y?y)??b??(x?x)2? ? (3-2)

a?y?bx?并按下式计算其中误差S

vi?yi?(a?bxi) (3-3) S?其中，n观测次数，vi为改正数

当用回归直线来预报未来的变形值时，通常以±2S作为未来变形值可能出现的区间。

3.2 多元线性回归模型

多元线性回归模型是一种经典模型，它在变形观测数据处理中得到广泛应用。它是研究一个因变量和多个自变量之间的非确定关系的最基本的方法，它的数学模型为： yt??0??1xt1??2xt2?...?pxtp??t?t?1,2...n? (3-5) ?t～N0，?2 (3-6) 式中,p是指自变量的个数；t指的是观测值变量,且共有n组观测值的数据。 多元线性回归模型的数学模型如（3-5）所示，其采用矩阵的形式为：

7

vi (3-4) n?22?? 宿州学院毕业论文（设计） 3.回归模型

y?x??? (3-7) 式中，x是一个n??p?1?矩阵；y为n维变形量的因变量（观测向量）；

Ty??y1,y2,y3,...yn?，它的各部分是可以精确测量一般变量或可控制的的观测值

或自变量，表达式为：

?1x11?1x21x????????1xn1x12x22?xn2?x1p??x2p??????xnp?? (3-8)

；ε是服从同一正态分

β是待参数向量（回归系数向量），

2??(?0,?1,?,?p)TT...，?n?。 布N(0,?)的n维随机向量，????1，?2，由最小二乘法原理可计算β的估值?为：

???xTx ????1xTy (3-9)

事实上模型（3-9）只是通过对问题的初步分析而得到的一种假设，所以，在计算得到多元线性回归方程之后，还需要对其进行统计检验。 3.3 多元线性回归模型在变形数据处理中的应用

多元线性回归模型在变形观测数据处理和变形预报中的应用主要包扩两个方面： 1.变形的预测与预报，当（3-5）式中的自变量在t时刻的值为可观测或已知时，则（3-5）式中可以预测变形体在同一时刻的变形的大小。由于在（3-5）式中自变量x是作为确定性因素，yt的统计性质由?t确定，yt序列彼此相互独立，都是同一总体y的不同次独立随机抽样值。公式（3-5）体现了变形值同自变量在相同时间的相关性，但未反映变形观测序列的相互依赖性、继续性以及变形的时序性，所以就变形观测数据处理而言，多元线性回归模型是一种静态的数据处理方法，因此建立的模型也是一种静态的模型。

2.变形成因分析，当（3-5）式中的自变量是因变量的各个不同影响因子时，则式（3-5）可用来分析和解释变形与变形原因之间的因果关系。

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宿州学院毕业论文（设计） 4.工程算例

4 工程算例

位于宿州市郊区的某滑坡处，周围有多处农户房屋和农田，为了保障周边安全和由滑坡造成的危害，为此，需要对其加强监测，预测滑坡的沉降发展趋势。现对此滑坡中分布均匀的四个角点（F1，F2，F3，F4）的沉降累计值进行建模并预测。取多变形数为n=4，即四个沉降点；观测资料以7天为一周期，总共采用m=10个周期的累计沉降序列。其中前8个周期用来建模，后2个周期用来检验预测值的准确性。四个滑坡监

测点的原始观测数据为：

表2 四个滑坡监测点原始数据

观测 序列 F1 F2 F3 F4

6 4 4 6

9 7 6 11

14 10 11 21

20 12 21 30

25 15 25 37

30 18 29 43

33 22 33 47

38 25 37 52

43 30 41 58

46 35 43 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

4.1 一元线性回归模型

由一元线性回归模型中公式可得：

表3 四个滑坡监测点模型参数

点号

a

F1 F2 F3 F4

1.000 -0.467 -0.533 2.267

模型参数

b 4.618 3.321 4.642 6.224

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宿州学院毕业论文（设计） 4.工程算例

应用Excel软件进行数据处理并根据一元线性回归分析可求得预测值为：

表4 根据一元线性回归分析得到的预测值

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5.618 10.236 14.854

2.854 6.175 9.496

4.109 8.751

8.491 14.715

6 9

4 7

4 6

6

0.382

1.146 -0.109 -2.491

一元线性回归模型的预测序列

实测值序列

残差序列

11 -1.236 0.825 -2.751 -3.715

13.393 20.939 14 10 11 21 -0.854 0.504 -2.393 0.061

0.528 -0.817 2.965 0.91

-1.138 2.323

2.837 3.613 3.389 1.165

19.472 12.817 18.035 27.163 20 12 21 30 24.09

16.138 22.677 33.387 25 15 25 37

28.708 19.459 27.319 39.611 30 18 29 43 33.326

22.78

1.292 -1.459 1.681

-0.78

1.039

31.961 45.835 33 22 33 47 -0.326

37.944 26.101 36.603 52.059 38 25 37 52 42.562 29.422 41.245 58.283 43 30 41 58 47.18

32.743 45.887 64.507 46 35 43 60

表5 监测点误差数据

监测点 F1 F2 F3 F4

中误差（S）

0.93 1.30 2.23 3.05

0.056 -1.101 0.397 -0.059 0.438 -1.18

0.578 -0.245 -0.283 2.257 -2.887 -4.507

2S 1.86 2.60 4.46 6.10

当用回归直线来预报未来的变形值时，通常以±2S作为未来变形值可能出现的区间。

图1 线性回归模型预报曲线与实测曲线的比较图

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宿州学院毕业论文（设计） 4.工程算例

4.2 灰色预测模型的建立和精度检验

应用灰色预测模型GM(1,1)预测各检测点的沉降趋势 （1）数据生成

用1-8周期数据进行建模，来预测后2周期的沉降值 以

0)x((k)

为原始数列，作一次累加生成（1—AGO）的生成数列：

?0??1? （2）建立模型

由原始数列x?k?和生成数列x?k?组成矩阵YN和B

（3）在时间序列中，对可靠性时间成正比例变化的数据序列，按下式定权： （4）求灰参数向量：

? a

?[au]?BPBT?T??1BTPYN (4-1)

（5）建立GM(1,1)加权模型

0?a?0??a?k?1?x??k?1?ex?u/ae (4-2) ??1?????式中a为发展系数，它反映地基沉降发展的态势。

表6 进行数据处理得到的数据

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

?GM(1,1)的预测序列 实测值序列 X1 6 9 14 20 25 30 33 38 43 46

X2 4 7 10 12 15 18 22 25 30 35

X3 4 6 11 21 25 29 33 37 41 43

X4 6 11 21 30 37 43 47 52 58 60

V1 0

残差序列 V2 0

V3 0 -9.35 -7.15 -0.45 -0.36 -0.97 -2.43 -4.88 -8.5

V4 0 -12.74 -6.48 -1.81 0.17 0.37 -2.34 -5.12 -8.12

X1

6

X2

4

?X3

4

?X4

6

?15.42 8.96 15.35 23.74 18.16 10.72 18.15 27.48 21.39 12.82 21.45 31.81 25.20 15.33 25.36 36.83 29.68 18.34 29.97 42.63 34.95 21.94 35.43 49.34 41.17 26.24 41.88 57.12 48.48 31.38 49.50 66.12

-6.42 -1.96 -4.16 -0.72 -1.39 -0.82 -0.2 -0.33 0.32 -0.34 -1.95 0.06 -3.17 -1.24 -5.48 -1.38

10 57.10 37.53 58.51 76.53 -11.1 -2.53 -15.51 -16.53

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