圆锥曲线例题

1、

2、

3、

(2012· 汕头模拟)设双曲线的一个焦点为 F, 虚轴的一个 4、 端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那 么此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 ) 3+1 C. 2 5+1 D. 2

y2 x2 2. (2011· 江西高考)若双曲线 - =1 的离心率 e=2, 5、 16 m 则 m=________.

x2 y2 1.(2011 年山东)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近 6、 线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切，且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线的方程为( x2 y2 A. 5 - 4 =1 ) x2 y2 B. 4 - 5 =1

7、

y2 例题：已知双曲线 x2- 2 =1,问过点 A(1,1)是否存在直线 l与双曲线交于 P,Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在求出 直线 l 的方程，若不存在请说明理由.

例1

x y 例2 (本题满分 12 分)椭圆 2+ 2=1(a>b> a b 0)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点， 且 → → OP⊥OQ(O 为坐标原点). 1 1 (1)求证： 2+ 2等于定值； a b 3 2 (2)当椭圆离心率 e∈[ , ]时，求椭 3 2 圆长轴长的取值范围.

2

2

b2x2+a2y2-a2b2=0, 解：(1)证明：由 x+y-1=0

消去y得 (a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0, 由Δ=4a4-4(a2+b2)a2(1-b2)>0, 得a2+b2>1, 设P(x1,y1),Q(x2,y2), 2 a2(1-b2) 2a 则 x1+x2= 2 x 2,x1·2= 2 2 ,① a +b a +b → → ∵由OP⊥OQ,

2分

∴x1x2+y1y2=0, 即x1x2+(1-x1)(1-x2)=0. 化简得2x1x2-(x1+x2)+1=0,② 4分

2a2(1-b2) 2a2 ①代入②可得 2 2 - 2 2+1=0, a +b a +b 即 a2+b2=2a2b2, 1 1 所以 2+ 2=2 为定值.6 分 a b c 2 2 2 (2)因为 e= ,b =a -c , a 2 2 2 2 由(1)可知 a +b =2a b , 2-e2 1 1 2 化简得 a = ,9 分 2 = + 2 2(1-e2) 2(1-e ) 3 2 5 3 2 因为 e∈[ , ],所以 ≤a ≤ , 3 2 4 2 5 6 即 ≤a≤ . 2 2 所以长轴长的取值范围是[ 5, 6]. 12 分

例3 已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点(A、B 不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶 点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标. 2 2 x y [解析] (1)设椭圆的方程为a2+b2=1(a>b>0),由已知得：a+c=3,a-c=1, ∴a=2,c=1,∴b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 4 + 3 =1.

y=kx+m 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由 x y2 4 + 3 =1 (3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0,

得，

∴Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0 即 3+4k2-m2>0 4(m2-3) 8mk x1+x2=- ,x · = x , 3+4k2 1 2 3+4k2 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m) 3(m2-4k2) =k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= , 3+4k2

A D

B

因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), y1 y2 ∴kADkBD=-1,即 · =-1. x1-2 x2-2 ∴y1y2+x1x2-2(x

1+x2)+4=0.3(m2-4k2) 4(m2-3) 16mk ∴ + + +4=0. 3+4k2 3+4k2 3+4k2 ∴7m2+16mk+4k2=0. 2k 解得 m1=-2k,m2=- ,且均满足 3+4k2-m2>0. 7

当 m1=-2k 时， 的方程为 y=k(x-2), l 直线过定点(2,0), 与已知矛盾； 2 2 2k 当 m2=- 时， 的方程为 y=k x-7 , l 直线过定点 7,0 . 7

所以，直线 l

2 过定点，定点坐标为 7,0 .

例4

例4

例4

例5

例5

x2 y2 例2 已知椭圆 1, 直线l : y 4 x m, 例6 . 4 3 若椭圆上存在两个不同点关于该直线对称， 求m的取值范围.y l

AB

o

x

解:假设存在A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线 y=4x+m ①对称 1 1 ∵AB⊥l ∴kAB=,可设直线AB: y=- x+b② 2 2 4 4 x y 把②带入 1 4 3 化简得:13x2-8bx+16b2-48=0 ∵AB与椭圆有两个不同的公共点 13 ∴△=64(39-12b)>0 b2< 4 1 x1 x2 4b 12b 设AB的中点为M,则xm= = ,ym=- xm+b=4 2 13 13 13 将M坐标代入①式得:b= m 4 13 2 13 2 13 4 2=( )2m2< 13 2< m b 4 13 <m< 13 13 4

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